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让我们求一些立体图形的体积
如果有时间的话 再讲表面积
先画一个圆柱形
这是圆柱形的顶
这是圆柱形的高
这是圆柱形的底
如果这个圆柱形是透明的话
你就可以看到这个圆柱形的背面
你可以把它想象成苏打水罐
假设这个圆柱形的高为8
单位是厘米 就是8厘米
这就是高
然后这个圆柱形或苏打水罐
上下底半径
假设半径是4厘米
求圆柱形的体积
圆柱形的体积是多少?
其实这题的做法
与前面讲过的体积问题一样
只要找到一边的面积
然后看有多么深
就可以求出体积了
我们先要做的就是
求出这个圆柱形上边圆的面积
或是苏打水罐的
然后再乘以高
就求出体积了
这实际上就是说这个上表面有多平方厘米
然后看这有多少厘米
然后就可以算出
这个圆柱形或苏打水罐的体积
怎么求上边这个面积呢
其实上边的面积
就是圆的面积
你可以把它想成这样
从上往下看
就成了半径为4厘米的圆
半径为4厘米的圆的面积
等于πr^2
面积就是
πr^2
即4cm^2
也就等于
4的平方是16
再乘以π
单位现在变成了
厘米的平方
换种说法就是平方厘米
这就是面积
体积就是
这个面积再乘以高
体积等于
16πcm^2再乘以高
即乘以8厘米
乘以8厘米
在做乘法的时候
可以用结合律
你可以调整顺序
按什么顺序算无所谓
因为是乘法
因此和16乘8一样
8乘8等于64
16乘8是它的两倍
所以就是128π cm^2乘cm
单位就变成立方厘米
128π立方厘米
请注意 π是一个数
因为它是个无限不循环小数 所以用π表示
要写的话 你一辈子都写不完
3.14159无限不循环
因此就只写个π
如果你想算出结果
你可以用计算器算you can get a calculator
大概就是3.14乘以128
大约就是400立方厘米
那怎么求这个圆柱形的表面积呢
表面积包括两个面
上底和下底
上面是表面积的一部分
下面也是
表面积的一部分
因此要求表面积
写下表面积
求圆柱形的表面积
肯定包括上下底的面积
也就是两个16πcm^2
这两个圆的面积都是16πcm^2
因此就是2乘以6πcm^2
保持单位不变
这个就算出了上下底的面积
接着需要算出这一圈的面积
我把它想成
就是用纸糊住这个面
让我在这边画
画条虚线
想象你沿这条虚线
剪开这个苏打水罐
然后展开这个
展开这个柱身
你会得到什么?
你将会得到
将会得到一张纸样的东西
这个长度
这个长度
与这个长度相等
全部展开后
这两条边
让我用品红色来标明
这两条线原来是重合的
让我再换一个没用过的颜色
用粉色吧
在卷起来的时候
这两条线是重合的
就是在这条虚线处重合
因此这两条线的长度
和圆柱形的高相等
是8厘米
这条边也是8厘米
那我们需要问自己的是
这条边有多长
要知道这条边实际上就是
这个圆柱形一圈的长度
仔细思考后
你会发现 其实这就是
上圆或下圆的周长
周长是多少呢?
这个圆的周长
和这个圆的周长相等
也就是2r^2*π
或者是2πr^2
2π乘以4cm等于8πcm
因此这个长度
就是上底或下底的周长
也就是8πcm
因此求这一圈的面积
只是围绕圆柱形一圈的面积
不包括上下底
展开后就是一个矩形
就是一个矩形
因此这一部分的面积
就是8乘以8π
面积就是8乘以8π
8乘以8等于64 也就是64π
64πcm^2
因此求此圆柱形的表面积
已经求出了上下底面积
就在这里
然后想求这一圈的面积
我们刚已经算出来了
因此加上64πcm^2
接下来计算出来就行了
2乘以16等于32
就是32πcm^2
再加上64π
让我把右边展开一点
加上64πcm^2
32加64等于96πcm^2
因此就是96πcm^2
就是300多平方厘米
注意 在求表面积的时候
我们求的结果都是平方厘米
因为面积是二维空间度量
我们看能再这个圆柱形的表面
放多少个平方厘米
体积的单位是立方厘米
这是因为我们求的是
这个圆柱形可以放
多少个立方厘米
这就为什么单位是立方厘米
希望能帮大家弄清这点儿