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我们做几个关于
指数增长和指数衰减的应用题
第一个问题
假设一种放射元素每小时衰减3.5%
6个小时之后 这种物质还剩下多多少?
我们在这里画一个表 看看发生了什么
然后试着总结出一个公式
来描述n小时之后剩下了多少
所以我们设这是过去的小时 这是剩下的百分数
所以0个小时之后 剩下了多少?
没有衰减 所以有100%剩下了
1个小时之后 发生了什么?
它以每小时3.5%的速率衰减 所以3.5%消失了
或者另一种思考方法 是0.965
记住 如果1减去3.5% 或者用100%减去3.5%
这就是每个小时消失的量
这就等于96.5%
所以每小时剩下的量就是前一小时的96.5%
所以在1小时候后 就是0小时的96.5%
或者0.965乘以100 乘以0时的数量
现在 2个小时后 发生了什么?
剩下的就是前一个小时的96.5%
3.5%消失了
也就是说 我们剩下了前一个小时的96.5%
所以这就是0.965乘以这个 0.965乘以100
总之 我认为你们能看出来趋势
所以第一个小时 就是0.965的一次方乘以100
第0小时 就是0.965的0次方
这里没写 但是有一个1 乘以100
在第二个小时 0.965的2次方 乘以100
总之 第n个小时 我用一个好的颜色
在第n个小时 就是0.965的n次方
乘以100 就是剩下的放射物质
你们会经常看到是这么写的
初始的数量乘以公比
0.965的n次方
这就是n小时之后剩下的
现在 我们可以回答这个问题
6小时之后 我们还剩下多少?
就是100乘以
0.965的6次方
我们可以用计算器算出来是多少
我们用计算器
100乘以0.965的6次方
这就等于80.75 这就是剩下的百分比
所以这是原来物质的80.75%
我们再做一个
纳迪亚1999年拥有一个
有200个店面的连锁快餐厅
如果增长速率是 实际上
有个印刷错误 应该是8%
每年增长率是8%
在2007年 有多少个店面?
我们来考虑一下
所以我们设 这是1999年以后的年份
我们谈论的是纳迪亚的连锁餐厅
有多少店面
所以1999是1999年之后0年
她开了200加店面
然后在2000年 就是1999年之后1年
她开了多少个店面?
她每年的增长率是8%
所以她开的店面数是前一年
的店面数加上8%
所以就是1.08乘以前一年她拥有的店面数
你们会看到 公比就是1.08
如果增长了8% 这就等于乘以1.08
我讲清楚点 200加上0.08 乘以200
这是1乘以200加上0.08 乘以200
这就是1.08乘以200 然后在2001年 是多少了?
这是1999年之后2年
就是这个数增长了8%
就要乘以1.08 就是1.08乘以1.08乘以200
我认为你们明白了重点
如果 1999年之后n年
就是1.08 我这样写
就是200乘以1.08的n次方
两年以后 1.08平方 1年 1.08的一次方
0年 就是1乘以200
就是1.08的0次方
所以题目问我们
在2007年开了多少个店面?
2007是1999年之后8年
所以n=8
我们把n=8代入
问题的答案就是200乘以
1.08的8次方
我们把计算器拿出来算一下
所以我们想算出200乘以1.08的8次方
她到时能开370个店面
可能比370要稍微多一点点
取个近似 她开了370家店面
所以8%的增长率
看起来不是那么快
但是在10年内 只在8年内
她就把连锁店从200家开到了370家
所以过了8年 你们可以看到
8%的复增长率其实非常有戏剧性