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这些 空间中的圆周,
将组成美丽的曲面。
为了理解四维空间中的
三维球面,
我将用圆环填满它,
以此方式构成称为"纤维丛"的物体。
对了,我叫 Heinz Hopf
生活在二十世纪上半叶。
我参与发展了拓扑学。
看这个环面,
似乎被一些缠绕在一起的圆周填满。 ---
圆周,球面和环面属于
最简单的物体。
且互相关联。
我曾在柏林、普林斯顿和苏黎世工作,
当代数学文献中,时常会出现:
Poincaré-Hopf 定理, Hopf 不变量, Hopf 代数, Hopf 纤维丛, 等等。
这是我的画像。
我在1931年发表了关于"我的"纤维丛的发现。
当然,这也倚仗着
许多前辈们的工作,如 Clifford。
他在19世纪的英国工作。
让我先从白色的黑板开始解释。
这是 ?
一个 2 维平面?
嗯... 是,也不是!
因为它是...
一个复2维平面,
即一个实 4 维空间。
来,努力一下!
这其中每点由两个坐标确定;
而每个坐标都是一个复数,
即由两个实数定义。
画面上每条轴都是一条复直线;
其上每点都有一个坐标,
它是一个复数。
这是横轴上的点 2 - i 。
看另一条轴,即纵轴,
这是它上的点 1 - 2i 。
黑板虽是魔幻的,
可还不能同时显示两个平面。
它们在三维里沿着一条直线相交,
但在四维空间,它们只在原点相交,
毕竟,它们是轴线!
这又是什么?
一个圆周? 是... 也不是!
应该试想,它在四维空间中,
且与原点的距离恒为 1。
它不是别的,
正是三维球面 S3 !
这需要一点儿想像力...
试想一下这 S3 怎样与横轴相交。
在截取横轴时,
其截面为这轴上与原点距离为 1 的点集。
所以... , 是一个圆周。
对于纵轴也是如此,
它与 S3 也在一个圆周上相遇,蓝圆周。
对于水平和垂直直线是如此,
对于其它过原点的直线也是如此。
如这条直线的方程是 z_2 = -2 z_1 。
实际上,对应于所有直线 z_2 = a z_1 都有一个圆周,
而且 a 可以取任何复数。
因此,在四维空间中的球面 S3,
是被一些圆周填满的 ;
在过原点的每条复直线上
都有一个圆周。
小心! 似乎这些圆周彼此相交,
然而在四维空间中,
两条直线只在原点相交,
因此,它们各自包含的单位圆周,
并不相交。
如此把 S3 分解为许多圆周,
是我首先发现的。
因此它被称为 Hopf 纤维丛。
叫纤维丛, 是因为
它很像织品的纤维。
现用球极投影来观察它。
试想从北极将 S3 投影到
南极的正切空间, 即是我们的三维空间。
这是其中一个圆周的投影。
即一条复直线和 S3 的交点的投影。
有很多这样的圆周。
在每条过原点的复直线上,也就是
每给一个复数 a ,
就有一个 S3 与直线 z_2 = a z_1 的相交圆周。
变动 a 值, (或变动这条直线),
圆周投影也随之改变。
有时甚至变成了一条直线。
这是因为它经过了 S3 的北极。
现在同时观察两个圆周。
左下角的红绿两点代表两个复数 a ,
红点对应于红圆周。
绿点对应于绿圆周。
而且, 如同链子上的两个环,
它们总是相互缠绕着,
不打碎不可能被分开。
更美妙的是,可让三个圆周
同时翩翩起舞。
现取众多的复直线,
显出众多的圆周。
它们填满了整个空间。
且两两不相交。
这就是一个纤维结构的例子。
下面我们
暂且回到黑板。
看, 每条线上有一个Hopf 圆周。
可用方程 z_2 = a z_1 代表此线 ,
a 是复数,
代表直线的斜率,
用标在绿线上的红点表示。
纵轴没有这样的方程,
但可被想象为斜率为无穷大。
别忘了,a 是一复数。
绿线是一条复直线,
也就是一个实平面。
每条与 S3 相交的复直线,
都被绿线上的一点,
完全刻划,
别忘了加上在无穷远处的一点。
而加上这点以后,
绿色直线即变成了二维球面。
这正是三维中的球极投影。
因此,与 S3 相交的复直线,
可用黄色球面上的点表示。
即对应于二维球面上的每一点,
都有一个 S3 上的圆周。
圆周也可以说是,
一维球面,不是吗?
这些圆周填满了 S3,
每一点又都只属于一个圆,
其又对应于二维球面上的一点。
这样,我们就得到了
一个从 S3 到 S2 的投影。
很复杂吧?
数学家们说 S2 每一点的上方
都挂有一个圆周纤维。
它们全体正好组成三维球面。
我对这纤维丛真是非常自豪,
更何况,
她早已成为了拓扑学的一个基础课题!