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下面讲部分分式展开
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有时也叫作部分分式分解
部分分式展开
也就是将有理式展开或分解为较简单部分
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也就是将有理式展开或分解为较简单部分
有理式也就是这样两式相除的形式
有理式也就是这样两式相除的形式
实际开始部分分式展开之前
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实际开始部分分式展开之前
需要保证分子次数小于分母
这里我给的例题 并非如此
这里我给的例题 并非如此
分子和分母次数相同
所以首先需要通过代数除法
让分子次数比分母低
让分子次数比分母低
这我讲过 这里复习一下
用分子除以分母 求余式
x2-3x-40除x2-2x-37
得多少呢
看最高次项 x2是1倍x2
这整个乘以1得x2-3x-40
两式相减得到余式
改成两式相加的形式吧 这是减
负负得正 这里也是加号
这个消掉
-2x+3x=x
-37+40=+3
所以这个有理式可以写成
1+(x+3)/(x2-3x-40)
这看起来很复杂
其实和四五年级学的
将假分数化成带分数类似
举个例子吧
13/2 要化成带分数
现在的话 你心算应该就能搞定
实际上是用分子除以分母
和这里一样
2除13得6 6×2=12
减去12余1
除不尽 1就是余数
写出来也就是 除法的结果6
写出来也就是 除法的结果6
加上余数除以分母
6+1/2
小学就学过
这可以写成6又1/2 它就是6+1/2
和我们这里做的是一回事
除法的结果是1
余式是x+3
所以是1+(x+3)/原分母
得到的这个分式 其分子次数
显然低于分母
分子最高次是1 分母最高次是2
下面就可以用部分分式分解了
首先要对分母进行因式分解
首先要对分母进行因式分解
把这个因式分解 看看是多少
哪两个数相加是-3 相乘是-40
两者肯定异号
因为相乘后是负数 两数是-8和+5
换个颜色 重写为
1+(x+3)/[(x+5)(x-8)]
5×(-8)=-40 5+(-8)=-3 没问题
现在只关心这一部分
记住外面有个1就行了
这就是我们要分解或展开的式子
要展开为两个较简单的式子
分别以这两个因子为分母
我断言 这可以展开为这样两个式子
我断言 这可以展开为这样两个式子
第一个式子是某数A除以第一个因式x+5
加上某数B除以第二个因式x-8
我断言如此 如果能求出A和B
加起来等于这个式子
分解就算完成
应该是这么说的吧
我试试
两式相加 得到什么
分式显然需要通分
公分母是两分母之积
公分母是两分母之积
我写一下
A/(x+5)+b/(x-8)等于…
公分母是(x+5)(x-8)
而A/(x+5)=A(x-8)/[(x+5)(x-8)]
而A/(x+5)=A(x-8)/[(x+5)(x-8)]
因为分子分母同时乘以一个式子 值不变
因为分子分母同时乘以一个式子 值不变
加上… 还是公分母(x+5)(x-8)
上面是B(x+5)
很重要的是
这一项和这一项是等价的
因为x-8可以消掉
这一项和这一项等价 因为x+5可以消掉
现在分母相同
两式相加 写到这里
A/(x+5)… 抱歉
把这个写到这里
(x+3)/[(x+5)(x-8)]等于
上面这两式的和
A(x-8)+B(x+5)整个除以
公分母(x+5)(x-8)
分母是一样的
这些相加应该得到这个
通过这来解出A和B
不管分母
即x+3=A(x-8)+B(x+5)
这之后 解A和B有两种方法
一种是七八年级学的
有点冗长
而另一种更快 先看快的这种吧
要求A 可以选个x让这一项消失
什么x能达到这个目的呢
x=-5 这一项为0 B就没了
可以取x=-5 因为任意x都满足此式
于是有 -5+3=A(-5-8)+B(-5+5)
选-5就是为了此式为0
换个颜色 写下来有
-5+3=2=-13A+0
-5+5=0 所以这一项是0
两侧同时除以-13 负负得正 得到
A=2/13
然后可以通过相同操作
去掉A这一项 令x=8
此时 x+3=11
等于A?0+B?13
B和13有点像
于是11=13B 两侧同时除以13
有B=11/13
A和B能求出来
所以开始这个式子是对的
而且分子上分别是2/13和11/13
所以最开始的这个式子
可以分解为1 加上
2/13先写成这样 2/13/(x+5)
不想分数做分子 13也可以写下来
不想分数做分子 13也可以写下来
加上11/13/(x-8)
13还是可以写到分母里
13还是可以写到分母里
这就分解完成了
这不能说是化简
毕竟一个式子分成了三个
不过分子和分母的次数显然都下降了
也许你会问 干嘛要这样做
代数中 这也许没有必要
但这在微积分和微分方程中会很有用
但这在微积分和微分方程中会很有用
但这在微积分和微分方程中会很有用
因为求积分时可能需要用到
因为求积分时可能需要用到
因为求积分时可能需要用到
而且逆拉普拉斯变换中这也会更好处理
而且逆拉普拉斯变换中这也会更好处理
而且逆拉普拉斯变换中这也会更好处理
总之 这相当于是一种有用工具
总之 这相当于是一种有用工具
之后还有其它类型部分分式分解的例子
之后还有其它类型部分分式分解的例子