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我要把所有我們學過的
關於線性獨立和相關的內容
以及一組向量張成的空間
統一放在一個問題中講解
如果你明白了這個問題
那麽就能明白我們正在做什麽
這就是我們學習線性代數的關鍵
特別是這兩個概念
第一個問題是
關於向量集合s
它們都是三維向量
它們有三個分量
它們張成的空間是R3嗎?
好像是這樣的
如果它們含有足夠的信息
那麽就能用這三個向量的
某個線性組合
表示R3中的任何向量
第二個問題是
它們是否是線性獨立的?
也許這兩個問題可以一起回答
我們先考慮第一問
它們能張成R3嗎?
張成空間R3意味著
這三個向量的某個線性組合
應該能夠表示R3中的任何向量
我先給出這三個向量的線性組合
用c1乘以第一個向量[1,-1,2]
加上任意的常數c2
乘以第二個向量[2,1,2]
再加上任意常數
乘以第三個向量[-1,0,2]
我可以取任意的常數
構成向量的線性組合
以表示R3中的任何向量
我要用向量a b c
表示R3中的任意向量
其中a b c是任意的實數
如果已知a b c
那麽就可以建立方程
從而可以解出
c1 c2 c3的值
這表明它們張成了空間R3
因爲對於任意給定的向量
我總可以
用這三個向量表示出這個向量
我們來看看這是否可以做到
從向量的
數乘定義出發
已知c1乘以這個向量
我可以把它重新寫一下
我跳過這一步
但我想把它講清楚
我可以將c1乘進去――
每一個分量都乘以c1
類似地 把c2提進去
每個分量都乘以c2
把c3也提進去
每個分量乘以c3
我要告訴大家
我們所做的所有工作
都根據的是向量數乘的定義
也就是我們剛才做的
還根據我們將要做的向量加法的定義
向量加法表明
這三項相加等於那一項
我寫下來
得到c1+2c2-c3=a
同樣地 對下一行也這麽做
-c1+c2+0c3必須等於b
即-c1+c2 再加上0倍的c3――
我們不用寫出來
右邊等於b
最後 處理最後一行
有2c1+3c2+2c3=c
現在我們要解出這些未知的常數
使用消去法
我想大家應該對這種方法很熟悉
我在之前的
線性代數影片中應該使用過
雖然我還沒有正式地講解
我們利用接下來的幾節課
再複習一遍
我想你應該知道如何解
我要做的是
先消去這兩項
然後再消去這項
然後解得各個常數
如果要消去這項
我能做的是
將這兩個方程相加
也可以用這兩個方程之和
來代替這個方程
我來做一下
我把這兩個方程相加
然後用和式代替這個式子
從而-c1+c1等於0
可以忽略
c2+2c2等於3c2
0+(-c3)等於-c3
-c3等於――
我要用這兩項的和做替換
b加a
等於b+a
我把第一個方程寫在上面
保持第一個方程不變
從而有c1+2c2-c3=a
對於最後一個方程
我要消去這項
取這個方程
將它減去第一個方程的2倍
你可以把它看做
我們將它加上第一個方程的-2倍
當我們寫出來是
實際上已經做出來了
將它乘以-2
變成-2c1-4c2+2c3
等於-2a
如果僅對這些項加倍――
我要非常仔細
我不能犯錯誤
這裡是-2c1-4c2+2c3
最後的係數是-2
然後把兩個方程相加
得到什麽?
2c1-2c1等於0
不用寫出來
3c2-4c2等於-c2
然後是2c3+2c3
它等於4c3 右邊等於c-2a
我做的就是用-2倍這一項替代這一項
然後得到這個式子
保持第一個方程不變
不對它做任何處理
把它移到右邊
有c1+2c2-c3=a
保持第二個方程不變
有3c2-c3=b+a
再往右移動一下
我要對最後一個方程用消去法
目的是消去這一項
我要做的是
將最後一個方程乘以3
然後將它加到中間這個方程
以消去這一項
如果對最後一個方程乘以3――
讓我―― 事實上
我不想把事情弄複雜
這裡是-3加上3 它們抵消了
這裡是12-1
就是12c3-c3 結果是11c3
然後這裡是―― 抱歉 我已經做過了
當我乘以3 再相加時 這裡已經消去了
然後當用3乘以這項時
得到12c3-c3 結果是11c3
對這項乘以3 再加上這項
得到3c-6a――
我就是將它乘以3――
加上這項 加上b 再加上a
我如何化簡它?
實際上 我要聲明一點
這個c與我之前寫的
c1 c2 c3不同
我想你應該意識到了
在這裡我用了兩次c
我不想讓這産生歧義
這個沒有下標的c
是一個不同的常數
我們所需要的都在這裡了
我們來化簡
我們有一個a和一個-6a
將二者相加
消去一個a 得到-5a
將等式兩邊同時除以11
得到什麽?
得到c3=1/11(3c-5a)
對於任意給定的a和c
我們就能算出c3
那麽c2是多少?
c2等於――
我先化簡這個方程
我在這裡做
將等式兩邊同時加上c3
得到3c2=b+a+c3
然後等式兩邊同時除以3
得到c2=1/3(b+a+c3)
先寫成這種形式
c1等於多少呢?
將最上面的等式改寫
先減去2c2
然後兩邊同時加c3
得到c1=a-2c2+c3
我剛才是怎麽講的?
你可以表示出R3中的任何向量
你可以給出任意實數a
任意實數b 和任意實數c
如果給出這些數
那麽我總可以求出
這三個向量的某個線性組合
使之滿足這些等式
從而我就求出了
構成的線性組合中
每個向量前面的係數
如果已知a b c的值
我就可以在這裡
代入a和c的值
抱歉
我忘記了b
這裡還有個b
這裡沒有處理b是可疑的
所以這裡有個b
從而這是3c-5a+b
我寫下來
括號內還有一個b
但我想大概的意思你能明白
若已知a b c
任意的實數都可以
這裡沒有除法
我們不用擔心除以0
所以這就是關於任何實數的
線性組合
我可以得到其他的實數
如果已知a b c
就會得到c3
現在已知a b c
得到了c3
這是另外一個實數
取之前給定的a和b
就能得到c2
我們已經可以解出c2和c3
然後要用到a
我們要計算c1
希望你能了解
不論給出任何a b c的值
我都能算出c1 c2 c3
任何的a b c都不會使得
這個等式不成立
我們沒有做任何除法
如果分母有0 則等式就不成立
我可以確定地說
這三個向量的集合可以張成空間R3
我還有一個問題
其實已經問過了
這些向量是線性獨立的嗎?
我說過爲了使得它們線性獨立
則下列方程的解
即c1乘以第一個向量[1,-1,2]
加上c2乘以第二個向量[2,1,3]
加上c3乘以第三個向量[1,0,2]
如果向量是線性獨立的
則意味著這個方程的解――
我要寫出這些向量的線性組合
使得它們相加之後爲0
這在之前的影片中已經做過
如果它們線性相關
則其必須有非0解
其中一個常數 至少要有一個
必須是非0的
你總可以使它們爲0
但是如果它們是線性相關的
那麽其中必須有一個是非0的
如果它們是線性獨立的
那麽所有的係數――
這個方程的只有唯一解
所有係數都爲0
c1 c2 c3都必須是0
線性獨立能推出它
它能推出線性獨立
這與我們在這裡做的事情相同
但在這種情況下
我令a b c都爲0
這是a 這是b 這是c
我們可以選擇R3中的任意向量
現在我們選了0向量
我們看看c1 c2 c3是多少
已知a=b=c=0
我把它設爲0向量
求這三個向量的線性組合
使得結果等於0向量
如果a b c都是0
那麽這三項都是0
得到1/11(0-0+0)
結果就是0
所以c3=0
如果c3=0
我們已經知道a=0
並且b=0
c2等於1/30 所以它等於0
那麽c1是多少?
其中c3=0
c2=0 從而20=0
所以c1就等於a
又已知a=0
所以這個方程的唯一解就是它
使得這三個向量的線性組合
等於0的係數的唯一解
就是所有的係數都等於0
我剛剛講過
c1 c2 c3都必須是0
因爲它們都是0
所以我們知道
這是一個線性獨立的向量組
或者說這些向量中的任何一個向量
都不能用其他兩個線性表出
這很有趣
已知張成空間R3的三個向量
它們是線性獨立的
線性獨立意味著
不存在多余的向量
即不存在某個向量
能用其他的向量表出
故已知的三向量
可以張成空間R3
總之 雖然我沒有給出證明
但這是可行的
即如果已知三個向量
它們能張成空間R3
那麽它們必須是線性獨立的
如果它們不是線性獨立的
那麽其中有一個就是多余的
比如這個向量是多余的
我經常選擇第三個
比如說這個向量是多余的
這意味著該向量張成空間
與這兩個向量張成的空間相同
因爲如果這個向量是多余的
就可以寫成這兩個向量的線性組合
而這兩個向量不可能張成空間R3
你也可以這麽想
如果三者是線性獨立的―― 三個元組
它們是無關的
那麽它們就能張成空間R3
我還沒給出證明
但是我希望你能理解
它們中的每一個都産生出一個新的定向
一個方向就像這樣
這些方向不一定是正交的
它們僅僅給出了定向
使得可以産生一個新的維度
希望這對你有所幫助
下次課再見