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我要把所有我们学过的
关于线性无关和相关的内容
以及一组向量张成的空间
统一放在一个问题中讲解
如果你明白了这个问题
那么就能明白我们正在做什么
这就是我们学习线性代数的关键
特别是这两个概念
第一个问题是
关于向量集合s
它们都是三维向量
它们有三个分量
它们张成的空间是R3吗?
好像是这样的
如果它们含有足够的信息
那么就能用这三个向量的
某个线性组合
表示R3中的任何向量
第二个问题是
它们是否是线性无关的?
也许这两个问题可以一起回答
我们先考虑第一问
它们能张成R3吗?
张成空间R3意味着
这三个向量的某个线性组合
应该能够表示R3中的任何向量
我先给出这三个向量的线性组合
用c1乘以第一个向量[1,-1,2]
加上任意的常数c2
乘以第二个向量[2,1,2]
再加上任意常数
乘以第三个向量[-1,0,2]
我可以取任意的常数
构成向量的线性组合
以表示R3中的任何向量
我要用向量a b c
表示R3中的任意向量
其中a b c是任意的实数
如果已知a b c
那么就可以建立方程
从而可以解出
c1 c2 c3的值
这表明它们张成了空间R3
因为对于任意给定的向量
我总可以
用这三个向量表示出这个向量
我们来看看这是否可以做到
从向量的
数乘定义出发
已知c1乘以这个向量
我可以把它重新写一下
我跳过这一步
但我想把它讲清楚
我可以将c1乘进去――
每一个分量都乘以c1
类似地 把c2提进去
每个分量都乘以c2
把c3也提进去
每个分量乘以c3
我要告诉大家
我们所做的所有工作
都根据的是向量数乘的定义
也就是我们刚才做的
还根据我们将要做的向量加法的定义
向量的加法表明
这三项相加等于那一项
我写下来
得到c1+2*c2-c3=a
同样地 对下一行也这么做
-c1+c2+0*c3必须等于b
即-c1+c2 再加上0倍的c3――
我们不用写出来
右边等于b
最后 处理最后一行
有2c1+3c2+2*c3=c
现在我们要解出这些未知的常数
使用消去法
我想大家应该对这种方法很熟悉
我在之前的
线性代数视频中应该使用过
虽然我还没有正式地讲解
我们利用接下来的几节课
再复习一遍
我想你应该知道如何解
我要做的是
先消去这两项
然后再消去这项
然后解得各个常数
如果要消去这项
我能做的是
将这两个方程相加
也可以用这两个方程之和
来代替这个方程
我来做一下
我把这两个方程相加
然后用和式代替这个式子
从而-c1+c1等于0
可以忽略
c2+2c2等于3c2
0+(-c3)等于-c3
-c3等于――
我要用这两项的和做替换
b加a
等于b+a
我把第一个方程写在上面
保持第一个方程不变
从而有c1+2*c2-c3=a
对于最后一个方程
我要消去这项
取这个方程
将它减去第一个方程的2倍
你可以把它看做
我们将它加上第一个方程的-2倍
当我们写出来是
实际上已经做出来了
将它乘以-2
变成-2c1-4c2+2*c3
等于-2a
如果仅对这些项加倍――
我要非常仔细
我不能犯错误
这里是-2c1-4c2+2*c3
最后的系数是-2
然后把两个方程相加
得到什么?
2c1-2c1等于0
不用写出来
3c2-4c2等于-c2
然后是2c3+2c3
它等于4*c3 右边等于c-2a
我做的就是用-2倍这一项替代这一项
然后得到这个式子
保持第一个方程不变
不对它做任何处理
把它移到右边
有c1+2*c2-c3=a
保持第二个方程不变
有3*c2-c3=b+a
再往右移动一下
我要对最后一个方程用消去法
目的是消去这一项
我要做的是
将最后一个方程乘以3
然后将它加到中间这个方程
以消去这一项
如果对最后一个方程乘以3――
让我―― 事实上
我不想把事情弄复杂
这里是-3加上3 它们抵消了
这里是12-1
就是12c3-c3 结果是11c3
然后这里是―― 抱歉 我已经做过了
当我乘以3 再相加时 这里已经消去了
然后当用3乘以这项时
得到12c3-c3 结果是11c3
对这项乘以3 再加上这项
得到3c-6a――
我就是将它乘以3――
加上这项 加上b 再加上a
我如何化简它?
实际上 我要声明一点
这个c与我之前写的
c1 c2 c3不同
我想你应该意识到了
在这里我用了两次c
我不想让这产生歧义
这个没有下标的c
是一个不同的常数
我们所需要的都在这里了
我们来化简
我们有一个a和一个-6a
将二者相加
消去一个a 得到-5a
将等式两边同时除以11
得到什么?
得到c3=1/11*(3c-5a)
对于任意给定的a和c
我们就能算出c3
那么c2是多少?
c2等于――
我先化简这个方程
我在这里做
将等式两边同时加上c3
得到3c2=b+a+c3
然后等式两边同时除以3
得到c2=1/3*(b+a+c3)
先写成这种形式
c1等于多少呢?
将最上面的等式改写
先减去2c2
然后两边同时加c3
得到c1=a-2c2+c3
我刚才是怎么讲的?
你可以表示出R3中的任何向量
你可以给出任意实数a
任意实数b 和任意实数c
如果给出这些数
那么我总可以求出
这三个向量的某个线性组合
使之满足这些等式
从而我就求出了
构成的线性组合中
每个向量前面的系数
如果已知a b c的值
我就可以在这里
代入a和c的值
抱歉
我忘记了b
这里还有个b
这里没有处理b是可疑的
所以这里有个b
从而这是3c-5a+b
我写下来
括号内还有一个b
但我想大概的意思你能明白
若已知a b c
任意的实数都可以
这里没有除法
我们不用担心除以0
所以这就是关于任何实数的
线性组合
我可以得到其他的实数
如果已知a b c
就会得到c3
现在已知a b c
得到了c3
这是另外一个实数
取之前给定的a和b
就能得到c2
我们已经可以解出c2和c3
然后要用到a
我们要计算c1
希望你能了解
不论给出任何a b c的值
我都能算出c1 c2 c3
任何的a b c都不会使得
这个等式不成立
我们没有做任何除法
如果分母有0 则等式就不成立
我可以确定地说
这三个向量的集合可以张成空间R3
我还有一个问题
其实已经问过了
这些向量是线性无关的吗?
我说过为了使得它们线性无关
则下列方程的解
即c1乘以第一个向量[1,-1,2]
加上c2乘以第二个向量[2,1,3]
加上c3乘以第三个向量[1,0,2]
如果向量是线性无关的
则意味着这个方程的解――
我要写出这些向量的线性组合
使得它们相加之后为0
这在之前的视频中已经做过
如果它们线性相关
则其必须有非0解
其中一个常数 至少要有一个
必须是非0的
你总可以使它们为0
但是如果它们是线性相关的
那么其中必须有一个是非0的
如果它们是线性无关的
那么所有的系数――
这个方程的只有唯一解
所有系数都为0
c1 c2 c3都必须是0
线性无关能推出它
它能推出线性无关
这与我们在这里做的事情相同
但在这种情况下
我令a b c都为0
这是a 这是b 这是c
我们可以选择R3中的任意向量
现在我们选了0向量
我们看看c1 c2 c3是多少
已知a=b=c=0
我把它设为0向量
求这三个向量的线性组合
使得结果等于0向量
如果a b c都是0
那么这三项都是0
得到1/11*(0-0+0)
结果就是0
所以c3=0
如果c3=0
我们已经知道a=0
并且b=0
c2等于1/3*0 所以它等于0
那么c1是多少?
其中c3=0
c2=0 从而2*0=0
所以c1就等于a
又已知a=0
所以这个方程的唯一解就是它
使得这三个向量的线性组合
等于0的系数的唯一解
就是所有的系数都等于0
我刚刚讲过
c1 c2 c3都必须是0
因为它们都是0
所以我们知道
这是一个线性无关的向量组
或者说这些向量中的任何一个向量
都不能用其他两个线性表出
这很有趣
已知张成空间R3的三个向量
它们是线性无关的
线性无关意味着
不存在多余的向量
即不存在某个向量
能用其他的向量表出
故已知的三向量
可以张成空间R3
总之 虽然我没有给出证明
但这是可行的
即如果已知三个向量
它们能张成空间R3
那么它们必须是线性无关的
如果它们不是线性无关的
那么其中有一个就是多余的
比如这个向量是多余的
我经常选择第三个
比如说这个向量是多余的
这意味着该向量张成空间
与这两个向量张成的空间相同
因为如果这个向量是多余的
就可以写成这两个向量的线性组合
而这两个向量不可能张成空间R3
你也可以这么想
如果三者是线性无关的―― 三个元组
它们是无关的
那么它们就能张成空间R3
我还没给出证明
但是我希望你能理解
它们中的每一个都产生出一个新的定向
一个方向就像这样
这些方向不一定是正交的
它们仅仅给出了定向
使得可以产生一个新的维度
希望这对你有所帮助
下次课再见