Tip:
Highlight text to annotate it
X
現在我們對夾逼定理
有了較好的理解
我們會用它來證明--
我用黃色來做--
當x趨於0時 sinx/x的極限
等於1
現在你們肯定很期待
因爲之前我說過好幾次了
那麽我們開始吧 我們必須以-- 顯然
這需要用到三角學
會是一個形象地證明
那麽我先畫一下單位圓
的第一和第四象限
我用品紅色來畫
我看看能不能-- 我應該畫大點
看一下
應該要畫大點
像這樣
這很接近了
接下來畫一下坐標軸
這是x軸 是這樣的
對不起 那應該是y軸
好了
接下來x軸 像這樣
這個是單位圓
好了
現在我來畫一些其它的東西
我來畫個-- 這是半徑
不過我要超出單位圓
一直到這兒
爲了說明問題 再畫一些東西
哦 不是這樣
從這點開始
像這樣
然後從這點開始 像這樣
再從這一點畫這樣一條線
要開始證明了
準備好了
我說的什麽來著?
這是單位圓 對吧?
單位圓意味著什麽呢?
是半徑爲1的圓
所以這裡和這裡的距離是1
如果這個角是x弧度
這條線的長度是多少呢?
這條線長度是多少?
由定義 sinx表示
單位圓上任意一點的縱坐標
所以這是sinx
我快沒地方寫了 畫個箭頭
這是sinx
我再問個稍微難點的
這個長度是多少
我們想一下
什麽是正切
我們通過SOH-CAH-TOA想一下正切的定義
TOA
正切等於對邊比鄰邊
tanx是多少呢?
應該等於-- 可以拿這個來說明--
如果說這是直角三角形
那麽就是對邊長度
比鄰邊長度 對吧?
我們稱這個長度
稱它爲o 表示對邊
但鄰邊長度爲多少呢?
這個大三角形
是單位圓 對吧?
所以這裡到這裡的距離
這距離是1 對吧?
因爲這又是一個半徑
長爲1
那麽對邊比鄰邊等於tanx
由於鄰邊爲1
所以對邊的長度
就等於tanx
另一種說法是
tanx等於這條邊除以1
或者說等於這條邊的長度
我把它寫下來
這條邊等於tanx
現在我們來討論
圖的這幾個部分的面積
或許我該畫得大點
但我想我們可以解決的
首先我選擇較小的三角形
也就是這一個
用綠色描一下
我用綠色塗的這個三角形
面積是多少?
應該是二分之一底乘高
二分之一底 底是1
對吧?
這是整個三角形
它的高是多少呢?
剛才我們已經計算出來了
高是sinx
乘以sinx
這是那個綠色的三角形的面積
那麽這個扇形的面積--
我用其他顏色描一下
用紅色
這個扇形的面積是多少
這個扇形
這兒的這個扇形
希望你們看的出來這是個不同的顏色
那麽 這個扇形
一直到這兒
一直到這段弧
它比我們剛才計算的三角形
大一點 對吧?
它總會大那麽一點
因爲它包含三角形
和圓弧之間的區域 對吧?
那段弧形區域的面積是多少?
如果這個角是x-- x弧度
它占整個單位圓的百分比是多少?
一個單位圓有2π的弧度
那麽這個區域面積是多少呢?
它等於x占整個單位圓弧度
的百分比
也就是x除以
整個單位圓的2π弧度
所以它是-- 你們知道
用角度表示的話 是它比上
360度
乘以整個圓的面積 對吧?
這告訴我們扇形占圓的比例
我們要用它乘以
整個圓的面積
這個單位圓的面積是多少呢?
面積等於πr方 半徑是1 對吧?
所以整個圓的面積是π
π乘以r方 r是1 所以圓的面積--
這個扇形的面積
等於
這兩個π消去了-- 等於x除以2
所以這個小三角形
也就是這個綠色的三角形 是sinx
1/2sinx 這是綠色三角形的面積
這個大一點的扇形的面積--
我們剛才計算出來了--是x除以2
現在算一下這個大點的三角形的面積
這個大的三角形
這個看起來是最明顯的
那麽1/2底乘高
也就是1/2-- 底仍是1
1乘以高 是tanx
等於1/2tanx
那麽看這個圖應該很清楚
不論我把頂上這條線畫在哪
這個綠色三角形的面積
都少於這個扇形
而扇形的面積少於這個大三角形
對吧?
我們寫一個不等式
綠色三角形的面積
1/2sinx
這是綠色三角形的面積
少於扇形的面積
也就是x除以2
這兩者都少於
大的三角形的面積 對吧?
也就是1/2tanx
這在什麽時候成立呢?
只要在第一象限就是成立的
只要在第一象限
在第四象限也是可以的
但是這時sinx是負的
tanx是負的 x也是負的
但如果取絕對值
則在第四象限也成立
因爲只要出現負數
取絕對值後
長度仍然是有效的
仍然可以得到正數的面積值 類似的東西
由於我的目的是求x趨向0時的極限
我要求這個極限--
爲了極限有定義
必須
要從兩個方向取極限
我們求一下兩邊的絕對值
希望對你們有幫助
如果我把線畫在這下面
這是sinx
這是tanx
只要對所有的都取絕對值
那麽實際上和在第一象限
是一樣的
那麽我們來取一下絕對值
不會改變什麽
特別是在第一象限
但是 你們可能要想一會
爲什麽在第二象限不會改變任何東西
我們有這個不等式
看一下可不可以圍繞它來進行
首先
先把所有數乘以2去掉1/2
那麽|sinx|
少於|x|
少於|tanx|
希望取絕對值不會迷惑你們
我寫的原來的第一象限中的不等式
也是有效的
但由於我想讓這個不等式
在第一和第四象限都成立
因爲要取兩個方向上的極限
所以取了絕對值
可以把線畫在這
在第四象限做同樣的事情
但要取絕對值
這應該是會有同樣的結果
不管怎樣 回到我們的問題
有這個不等式
沒地方寫了
我把這些擦掉
擦去
沒擦掉呢
哦 可以了
好的 我可以把所有的推導都擦掉
但不能忘了這個
現在有很多空間了
那麽我們用這個表達式
把所有的邊
你們知道 有3個邊 左邊 中間 右邊
用它們除以|sinx|
由於我們知道
|sinx|是個正數
我們還知道這些少於號不變 對吧?
那麽我們開始做
|sinx|
除以|sinx|
是1
少於|x|
除以|sinx|
少於-- tan絕對值是什麽來著
我所做的是 把它們除以|sinx|
都除以|sinx|
那麽|tanx|除以
|sinx|是多少呢
tan是sin除以cos
它等於-- 在這做吧
等於sin/cos再除以sin
你們可以說
這和加上絕對值是一樣的
它的絕對值除以它的絕對值
那麽還剩下什麽呢?
還剩下1除以-
這個和這個消去 成了1
1除以|cosx|
你們可能感覺到我們向答案靠近了
因爲這兩個看起來很像 互爲倒數
那麽我們對這個取倒數
之後會怎樣呢?
首先 對1取倒數之後
1/1還是1
但對不等式兩邊取倒數後
不等號要改變
如果你們不明白 想一下這個
比如1/2少於2
取倒數後 有2大於1/2
希望這會給你們直觀的理解
那麽我把不等式兩邊取倒數
必須要改變不等號
所以1大於|sinx|
除以|x|
大於|cosx|
現在我來問個問題
|sinx|除以--
首先 sinx除以x-
有沒有可能sinx除以x是--
在第一和第四象限
sinx除以x有可能
是負的嗎
在第一象限 sinx是正的
x也是正的
正數除以正數是正的
第四象限 sinx是負的
y是負的 這個角也是負的
所以x也是負的
所以在第四象限
sinx除以x是
負數除以負數
又一次得到正數
所以sinx除以x總會是正的
絕對值符號有些多余
所以可以寫成1大於sinx/x
同樣的邏輯 在第一和第四象限--
那是我們討論的區域
我們考慮的是
-π/2
從-π/2一直到π/2
所以是在第四和第一象限
cosx會是負的嗎
求餘弦的是x 由定義 x--
在第一和第四象限--
x總是正的
如果x一直是正的
就可以把這的絕對值去掉
這樣寫就行
現在 我們可以用夾逼定理了
我把這下面都擦掉
我來問你們
x趨向0時 函數1的極限是多少
函數1總是等於1
所以可以知道x趨於無窮
x趨於π等任何時候 它的極限
總是會等於1
所以當x趨於0 這個等於1
那麽當x趨於0時cosx的極限是多少呢?
這同樣很簡單
當x趨於0 cos0等於1-- 如你們知道的
它是個連續函數-- 所以極限是1
我們已經準備好運用夾逼定理了
當x趨於0時
這個函數趨於1
這個函數趨於1
而這個函數在這二者之間
如果它處於兩者之間 當我們趨向--
當x趨於0時 這項趨於1
當x趨於0時 這項也趨於1
這個在它們之間
所以它也必須在x趨向0時趨向1
我們是基於這個和這個
運用了夾逼定理
你們可以說
因此根據夾逼定理- 因爲這個成立
這個成立 這個也成立
所以當x趨於0時 sinx/x的極限是1
希望這給你們直觀的認識
另一種思考方法 隨著這條線越來越短
當短到長度接近0時 x也接近0
這片區域和這片區域慢慢收斂
所以中間的這片區域
必須向它們兩個收斂
如果你們想看得更生動 我在這畫一下
看看我能不能畫出這個
我會畫給你們看
只要你們相信我
我們說過在-π/2到π/2
1比sinx/x大
sinx/x比cosx大
當然x=0時這個無定義
但我們可以計算出極限
就是這樣
這條藍色的線 是函數1
也就是y=1
這條淺藍色的是cosx
這個是sinx/x
你們可以看到實際上我打上了
所以sinx/x 在-π/2到π/2上
或者說第四和第一象限
這條紅線總是在中間
總是在深藍色和淺藍色之間
這就是對夾逼定理
一個直觀上的說明
我們知道
當x趨於0時 這條淺藍線是1
還知道
當x趨於0時 這條深藍線是也1
這條紅色的線總是在中間
所以也趨向1
那麽現在你們知道了
這個證明 用到了夾逼定理
以及三角學的一點知識
證明了爲什麽x趨向0時
sinx/x的極限是1
希望沒有讓你們困惑