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现在我们对夹逼定理
有了较好的理解
我们会用它来证明--
我用黄色来做--
当x趋于0时 sinx/x的极限
等于1
现在你们肯定很期待
因为之前我说过好几次了
那么我们开始吧 我们必须以-- 显然
这需要用到三角学
会是一个形象地证明
那么我先画一下单位圆
的第一和第四象限
我用品红色来画
我看看能不能-- 我应该画大点
看一下
应该要画大点
像这样
这很接近了
接下来画一下坐标轴
这是x轴 是这样的
对不起 那应该是y轴
好了
接下来x轴 像这样
这个是单位圆
好了
现在我来画一些其它的东西
我来画个-- 这是半径
不过我要超出单位圆
一直到这儿
为了说明问题 再画一些东西
哦 不是这样
从这点开始
像这样
然后从这点开始 像这样
再从这一点画这样一条线
要开始证明了
准备好了
我说的什么来着?
这是单位圆 对吧?
单位圆意味着什么呢?
是半径为1的圆
所以这里和这里的距离是1
如果这个角是x弧度
这条线的长度是多少呢?
这条线长度是多少?
由定义 sinx表示
单位圆上任意一点的纵坐标
所以这是sinx
我快没地方写了 画个箭头
这是sinx
我再问个稍微难点的
这个长度是多少
我们想一下
什么是正切
我们通过SOH-CAH-TOA想一下正切的定义
TOA
正切等于对边比邻边
tanx是多少呢?
应该等于-- 可以拿这个来说明--
如果说这是直角三角形
那么就是对边长度
比邻边长度 对吧?
我们称这个长度
称它为o 表示对边
但邻边长度为多少呢?
这个大三角形
是单位圆 对吧?
所以这里到这里的距离
这距离是1 对吧?
因为这又是一个半径
长为1
那么对边比邻边等于tanx
由于邻边为1
所以对边的长度
就等于tanx
另一种说法是
tanx等于这条边除以1
或者说等于这条边的长度
我把它写下来
这条边等于tanx
现在我们来讨论
图的这几个部分的面积
或许我该画得大点
但我想我们可以解决的
首先我选择较小的三角形
也就是这一个
用绿色描一下
我用绿色涂的这个三角形
面积是多少?
应该是二分之一底乘高
二分之一底 底是1
对吧?
这是整个三角形
它的高是多少呢?
刚才我们已经计算出来了
高是sinx
乘以sinx
这是那个绿色的三角形的面积
那么这个扇形的面积--
我用其他颜色描一下
用红色
这个扇形的面积是多少
这个扇形
这儿的这个扇形
希望你们看的出来这是个不同的颜色
那么 这个扇形
一直到这儿
一直到这段弧
它比我们刚才计算的三角形
大一点 对吧?
它总会大那么一点
因为它包含三角形
和圆弧之间的区域 对吧?
那段弧形区域的面积是多少?
如果这个角是x-- x弧度
它占整个单位圆的百分比是多少?
一个单位圆有2π的弧度
那么这个区域面积是多少呢?
它等于x占整个单位圆弧度
的百分比
也就是x除以
整个单位圆的2π弧度
所以它是-- 你们知道
用角度表示的话 是它比上
360度
乘以整个圆的面积 对吧?
这告诉我们扇形占圆的比例
我们要用它乘以
整个圆的面积
这个单位圆的面积是多少呢?
面积等于πr方 半径是1 对吧?
所以整个圆的面积是π
π乘以r方 r是1 所以圆的面积--
这个扇形的面积
等于
这两个π消去了-- 等于x除以2
所以这个小三角形
也就是这个绿色的三角形 是sinx
1/2sinx 这是绿色三角形的面积
这个大一点的扇形的面积--
我们刚才计算出来了--是x除以2
现在算一下这个大点的三角形的面积
这个大的三角形
这个看起来是最明显的
那么1/2底乘高
也就是1/2-- 底仍是1
1乘以高 是tanx
等于1/2tanx
那么看这个图应该很清楚
不论我把顶上这条线画在哪
这个绿色三角形的面积
都小于这个扇形
而扇形的面积小于这个大三角形
对吧?
我们写一个不等式
绿色三角形的面积
1/2sinx
这是绿色三角形的面积
小于扇形的面积
也就是x除以2
这两者都小于
大的三角形的面积 对吧?
也就是1/2tanx
这在什么时候成立呢?
只要在第一象限就是成立的
只要在第一象限
在第四象限也是可以的
但是这时sinx是负的
tanx是负的 x也是负的
但如果取绝对值
则在第四象限也成立
因为只要出现负数
取绝对值后
长度仍然是有效的
仍然可以得到正数的面积值 类似的东西
由于我的目的是求x趋向0时的极限
我要求这个极限--
为了极限有定义
必须
要从两个方向取极限
我们求一下两边的绝对值
希望对你们有帮助
如果我把线画在这下面
这是sinx
这是tanx
只要对所有的都取绝对值
那么实际上和在第一象限
是一样的
那么我们来取一下绝对值
不会改变什么
特别是在第一象限
但是 你们可能要想一会
为什么在第二象限不会改变任何东西
我们有这个不等式
看一下可不可以围绕它来进行
首先
先把所有数乘以2去掉1/2
那么|sinx|
小于|x|
小于|tanx|
希望取绝对值不会迷惑你们
我写的原来的第一象限中的不等式
也是有效的
但由于我想让这个不等式
在第一和第四象限都成立
因为要取两个方向上的极限
所以取了绝对值
可以把线画在这
在第四象限做同样的事情
但要取绝对值
这应该是会有同样的结果
不管怎样 回到我们的问题
有这个不等式
没地方写了
我把这些擦掉
擦去
没擦掉呢
哦 可以了
好的 我可以把所有的推导都擦掉
但不能忘了这个
现在有很多空间了
那么我们用这个表达式
把所有的边
你们知道 有3个边 左边 中间 右边
用它们除以|sinx|
由于我们知道
|sinx|是个正数
我们还知道这些小于号不变 对吧?
那么我们开始做
|sinx|
除以|sinx|
是1
小于|x|
除以|sinx|
小于-- tan绝对值是什么来着
我所做的是 把它们除以|sinx|
都除以|sinx|
那么|tanx|除以
|sinx|是多少呢
tan是sin除以cos
它等于-- 在这做吧
等于sin/cos再除以sin
你们可以说
这和加上绝对值是一样的
它的绝对值除以它的绝对值
那么还剩下什么呢?
还剩下1除以-
这个和这个消去 成了1
1除以|cosx|
你们可能感觉到我们向答案靠近了
因为这两个看起来很像 互为倒数
那么我们对这个取倒数
之后会怎样呢?
首先 对1取倒数之后
1/1还是1
但对不等式两边取倒数后
不等号要改变
如果你们不明白 想一下这个
比如1/2小于2
取倒数后 有2大于1/2
希望这会给你们直观的理解
那么我把不等式两边取倒数
必须要改变不等号
所以1大于|sinx|
除以|x|
大于|cosx|
现在我来问个问题
|sinx|除以--
首先 sinx除以x-
有没有可能sinx除以x是--
在第一和第四象限
sinx除以x有可能
是负的吗
在第一象限 sinx是正的
x也是正的
正数除以正数是正的
第四象限 sinx是负的
y是负的 这个角也是负的
所以x也是负的
所以在第四象限
sinx除以x是
负数除以负数
又一次得到正数
所以sinx除以x总会是正的
绝对值符号有些多余
所以可以写成1大于sinx/x
同样的逻辑 在第一和第四象限--
那是我们讨论的区域
我们考虑的是
-π/2
从-π/2一直到π/2
所以是在第四和第一象限
cosx会是负的吗
求余弦的是x 由定义 x--
在第一和第四象限--
x总是正的
如果x一直是正的
就可以把这的绝对值去掉
这样写就行
现在 我们可以用夹逼定理了
我把这下面都擦掉
我来问你们
x趋向0时 函数1的极限是多少
函数1总是等于1
所以可以知道x趋于无穷
x趋于π等任何时候 它的极限
总是会等于1
所以当x趋于0 这个等于1
那么当x趋于0时cosx的极限是多少呢?
这同样很简单
当x趋于0 cos0等于1-- 如你们知道的
它是个连续函数-- 所以极限是1
我们已经准备好运用夹逼定理了
当x趋于0时
这个函数趋于1
这个函数趋于1
而这个函数在这二者之间
如果它处于两者之间 当我们趋向--
当x趋于0时 这项趋于1
当x趋于0时 这项也趋于1
这个在它们之间
所以它也必须在x趋向0时趋向1
我们是基于这个和这个
运用了夹逼定理
你们可以说
因此根据夹逼定理- 因为这个成立
这个成立 这个也成立
所以当x趋于0时 sinx/x的极限是1
希望这给你们直观的认识
另一种思考方法 随着这条线越来越短
当短到长度接近0时 x也接近0
这片区域和这片区域慢慢收敛
所以中间的这片区域
必须向它们两个收敛
如果你们想看得更生动 我在这画一下
看看我能不能画出这个
我会画给你们看
只要你们相信我
我们说过在-π/2到π/2
1比sinx/x大
sinx/x比cosx大
当然x=0时这个无定义
但我们可以计算出极限
就是这样
这条蓝色的线 是函数1
也就是y=1
这条浅蓝色的是cosx
这个是sinx/x
你们可以看到实际上我打上了
所以sinx/x 在-π/2到π/2上
或者说第四和第一象限
这条红线总是在中间
总是在深蓝色和浅蓝色之间
这就是对夹逼定理
一个直观上的说明
我们知道
当x趋于0时 这条浅蓝线是1
还知道
当x趋于0时 这条深蓝线是也1
这条红色的线总是在中间
所以也趋向1
那么现在你们知道了
这个证明 用到了夹逼定理
以及三角学的一点知识
证明了为什么x趋向0时
sinx/x的极限是1
希望没有让你们困惑