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在這個影片我想您熟悉極限這一個超級重要的概念。
這真的就只是微積分所有依據的概念。
但盡管是超級重要,這其實真的是很簡單的概念。
所以我先在這裡畫一個函數 - 不,在這裏讓我定義一個函數。
定義一種簡單的函數。所以我們定義f(x) - 就讓它為(x-1)/(x-1)吧。
你可能會說,"嘿 Sal,你看,我在分子和分母有同樣的物件。
如果我有什麽物件除以本身,不就是等於一嗎?難道我不能把它簡化至 f(x) = 1 嗎?"
我會說,"嗯,你幾乎是正確的,f(x) = 1 和這個數之間的差異 ,就是
這個數當 x = 1時是無定義的。所以如果你設定 - 讓我把它寫在這裡 - 如果你有
f(1),會發生什麽情況?在分子,你會有(1-1),讓我把它寫下來…
在分子是0,在分母的時候你有 (1-1),這也是0。因此,任何數被
0除,包括0/0是無定義的。因此,你可以將其簡化 - 你可以說這與
f(x)=1 一樣,但你想要添加極限 x 不能等於 1。現在這
與這一樣。只要是 1 以外的任何其他 x,這兩個都會等於 1。但
在 x = 1,它將成爲無定義。這個無定義而這個也無定義。我如何為這函數劃圖?
所以讓我圖它...這就是我的 y=f(x) 軸和則在這裡這就是我的 x 軸,然後讓我們說
這是點 x = 1,在這裡這是 x = 1 這是 y = 1,就那裏我能做,但-1
不在這裡,做很多相對於此函數和讓我它的圖形。所以基本上就是爲了
1,f (x) 以外的任何 x = 1。所以它會像這樣 … … 除了看看 1。1、 在種未定義,所以
我會把一點點差距在這裡,這個圈子,以表示,此函數
是未定義-我們不知道什麽此函數等於 1,我們從來沒有定義它。
此函數的定義沒有告訴我們 1 在做什麽 — — 它字面上有未定義當 x = 1。
所以這是函數的權利在這裡,並又一次,如果有人問你 f (2) 是什麽,你去 … …
讓我們說,這是函數定義,你去 x = 1。哦,稍等,還有我的函數中的差距
在這裡,未定義。所以讓我寫一遍 … … 嗯,這是有點多余,但我要重寫它。
f (2) 未定義。但如果我問你,該函數即將來臨
x = 1 嗎?現在,這開始觸摸一個限制的想法。所以作爲獲取更密切和更接近 1 x...
該函數即將來臨?好這段時間,是否接近到變什麽?
在左手邊,無論多麽接近你得到 1,只要你不是 1,f (x) = 1。
在右手邊從這裡,你得到同樣的事情。所以你會說的你會
更多熟悉這種想法,因爲我們做更多的例子-作爲限制
x 和林短的限制)-作爲 x 種 1 等於的方法...
隨著我們越來越我們可以獲得令人難以置信、 無限接近於 1,只要我們不在 1...
我們的函數將會等於 1,它越來越近了接近 1,
它是在 1 整段時間。所以在這種情況下,我們可以說該限制當 x 種途徑 1
爲 1。又一次,已非常別致的表示法中,我們只說,"你看,什麽功能接近
x 作爲獲取 1 接近嗎?"
讓我做另一個例子,我們正在處理一條曲線,只是爲了讓你有一般的主意。
所以我們可以說我有功能種-讓我,只是爲了的品種,讓我稱之爲 g(x)。
讓我們說我們有 g(x) 是等於-我可以這樣定義方式,我們可以作爲 x ² 定義
當 x 不等於 2,和讓我們說當 x = 2,等於 1。又一次,一個有趣的種
-您將看到的不是完全連續的功能。它具有不連續。讓我它的圖形。
所以這個我 y=f(x) 軸,在這裡,這是我的 x 軸。讓我們說這是 x = 1,這是 x = 2,
這是-1,這是-2...所以到處除 x = 2,等於 x ²。讓我來繪制它像這樣,
這會是一條抛物線,它看起來是這樣的 … …它是去找東西 … …
讓我畫的抛物線一個更好的版本。所以,看起來像這樣,未得最美麗
繪制的抛物線史上的繪圖抛物線,但我認爲它會給你什麽的抛物線的想法
看起來像,有希望。它應該是對稱的...讓我重繪,因爲這就是有點醜。
現在看更好的好吧,好吧,就到這裡吧。好。
現在,這應該是的圖的只是 x ²,但它不是 x ² 當 x = 2。又一次,當 x = 2,
我們應該有一點點的不連續在這裡,所以我就在那邊,右畫的差距
因爲當 x = 2,功能是等於 1。
我沒有做他們相同的尺度...在圖表的 f (x) = x ² 這將是 4,就是 2,
這將是 1,這將是 3。這樣,x = 2,我們的函數等於 1。
所以這是有點怪異的功能,但您可以定義它,這種方式,您可以定義一個函數不過
你喜歡它定義 !所以,請注意,它看起來像是 f (x) 的圖 = x² 除當你去 2,
它有這種差距,因爲您不使用"g (x) = x ² 當 x = 2",您使用"g (x) = 1"。
如果我一直在說種,我道歉的。
您使用 g (x) = 1,那麽究竟是在 2,它掉下來爲 1,然後再沿 x ² 持續下去。
因此,有幾件事情。如果我只是計算函數-g(2),
你看一看這個定義。好吧,當 x = 2,我在這裡,使用這種情況
而它告訴我,它將會等於 1。讓我問一個更有趣的問題,或者也許是一個更
有趣的問題。當 x g(x) 的途徑 2 的極限是什麽?再次,想象力的表示法,但
它要求相當相當簡單的事情。這說"當 x 獲取更密切和更接近 2 … …
你得到接近-,這不是一個嚴謹的定義,我們未來會做這影片-
隨著 x 越來越接近 2,g(x) 接近?所以,如果你到 1.9,然後 1.999,然後 1.999999
然後是 1.9999999,g(x) 是什麽和接近?如果您要從積極的方向發展,
如果你是說 2.1,g(2.1) 是什麽?G(2.01) 是什麽?G(2.001) 是什麽?
那是什麽隨著我們越來越接近它來臨?
你可以只通過繪制圖形直觀地看到它。如 g 獲取接近 2...
如果我們遵循它沿圖表,我們看到我們在接近 4,
即使這不是函數所在-功能下降到 1-作爲 g(x) 的限制
x 的方法 2 等於 4。您甚至可以做這數字順序使用計算器。
讓我做,因爲我覺得那會很有意思。所以讓我拿出計算器...
讓我得到我的誠信钛 85 出...這就是我的計算器...您可以按數字說,
好的它是什麽想辦法接近 x = 2 呢?所以讓我們嘗試 1.9。X = 1.9,您將使用此
top 子句,在這裡。所以你將會有 1.9²,,這樣你就可以得到 3.61。
嗯,如果你甚至更接近 2?所以 1.99,並再一次讓我平方,
好我在 3.96。如果辦 1.999,並平方呢?
我會更 3.996。請注意,我講得更接近和更接近,接近我們點。
如果我真的關閉-1.999999999999² 嗎?我什麽我在靠近?它實際上並不將會
完全 4-這個計算器只是事情向上捨入-因爲我們會有一些真的真的
真的真的接近 4。我們可以真正從積極的方向發展,也和它做些什麽
當我們從接近時必須相同數量低於我們試圖接近,
以上我們試圖接近。所以如果我們 2.1²,我們會得到 4.4...
讓我向前走兩步 … …
2.0001².那麽現在這是更接近 2。現在,我們正在更接近 4。
如此接近我們到 2,接近好像我們已經到 4。
再說一遍,這是一個用數值來判斷極限的方法。當這個極限x趨近於2時
(從g(x)的左邊或右邊), 雖然當x真的等於2的時候,方程的值是1,因爲這個方程不是連續的,
但是我們在接近 2時,我們越來越接近和更接近和更接近於 4, 而不是1!