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我想您熟悉思想的这个视频,这是极限的一个超级重要的主意。
这个观念就是真的所有的微积分依据。
但尽管这样超级重要,其实真的是很简单的想法。
所以让我在这里-画一个函数实际上,让我定义的函数
在这里。一种简单的功能。让我们来定义种 - 让我们说这种将 (x-1)/(x-1)。
你可能会说,"嘿 Sal,你看,我有同样的事情在分子和分母。
如果我有什么事情除以本身,这只是等于之一 !不能我只是简化此至 f (x) = 1 吗?"
我会说,"嗯,你几乎为 true,f (x) 之间的差异 = 1 和这件事,就在
这里是这件事是未定义当 x = 1。所以如果你设置-让我把它写在这里-如果您有
f (2),会发生什么情况?在分子,你会 (1-1),哪 … … 让我只是把它写下来 … …
在分子中,你得到了 0,和作为分母的时候你得到 (1-1),这也是 0。因此,任何分裂
由 0,包括 0/0,这是未定义。因此,您可以简化-你可以说这是
同样的事情作为 f (x) = 1,但你想要添加约束 x 不能等于 1。现在这
与这等效。这两方面都将会等于 1,为 1 以外的所有其他 x'es。但
在 x = 1,它将成为未定义。这是未定义这其中的未定义的。我如何将图形此函数?
所以让我图它...这就是我的 y=f(x) 轴和则在这里这就是我的 x 轴,然后让我们说
这是点 x = 1,在这里这是 x = 1 这是 y = 1,就那里我能做,但-1
不在这里,做很多相对于此函数和让我它的图形。所以基本上就是为了
1,f (x) 以外的任何 x = 1。所以它会像这样 … … 除了看看 1。1、 在种未定义,所以
我会把一点点差距在这里,这个圈子,以表示,此函数
是未定义-我们不知道什么此函数等于 1,我们从来没有定义它。
此函数的定义没有告诉我们 1 在做什么 — — 它字面上有未定义当 x = 1。
所以这是函数的权利在这里,并又一次,如果有人问你 f (2) 是什么,你去 … …
让我们说,这是函数定义,你去 x = 1。哦,稍等,还有我的函数中的差距
在这里,未定义。所以让我写一遍 … … 嗯,这是有点多余,但我要重写它。
f (2) 未定义。但如果我问你,该函数即将来临
x = 1 吗?现在,这开始触摸一个限制的想法。所以作为获取更密切和更接近 1 x...
该函数即将来临?好这段时间,是否接近到变什么?
在左手边,无论多么接近你得到 1,只要你不是 1,f (x) = 1。
在右手边从这里,你得到同样的事情。所以你会说的你会
更多熟悉这种想法,因为我们做更多的例子-作为限制
x 和林短的限制)-作为 x 种 1 等于的方法...
随着我们越来越我们可以获得令人难以置信、 无限接近于 1,只要我们不在 1...
我们的函数将会等于 1,它越来越近了接近 1,
它是在 1 整段时间。所以在这种情况下,我们可以说该限制当 x 种途径 1
为 1。又一次,已非常别致的表示法中,我们只说,"你看,什么功能接近
x 作为获取 1 接近吗?"
让我做另一个例子,我们正在处理一条曲线,只是为了让你有一般的主意。
所以我们可以说我有功能种-让我,只是为了的品种,让我称之为 g(x)。
让我们说我们有 g(x) 是等于-我可以这样定义方式,我们可以作为 x ² 定义
当 x 不等于 2,和让我们说当 x = 2,等于 1。又一次,一个有趣的种
-您将看到的不是完全连续的功能。它具有不连续。让我它的图形。
所以这个我 y=f(x) 轴,在这里,这是我的 x 轴。让我们说这是 x = 1,这是 x = 2,
这是-1,这是-2...所以到处除 x = 2,等于 x ²。让我来绘制它像这样,
这会是一条抛物线,它看起来是这样的 … …它是去找东西 … …
让我画的抛物线一个更好的版本。所以,看起来像这样,未得最美丽
绘制的抛物线史上的绘图抛物线,但我认为它会给你什么的抛物线的想法
看起来像,有希望。它应该是对称的...让我重绘,因为这就是有点丑。
现在看更好的好吧,好吧,就到这里吧。好。
现在,这应该是的图的只是 x ²,但它不是 x ² 当 x = 2。又一次,当 x = 2,
我们应该有一点点的不连续在这里,所以我就在那边,右画的差距
因为当 x = 2,功能是等于 1。
我没有做他们相同的尺度...在图表的 f (x) = x ² 这将是 4,就是 2,
这将是 1,这将是 3。这样,x = 2,我们的函数等于 1。
所以这是有点怪异的功能,但您可以定义它,这种方式,您可以定义一个函数不过
你喜欢它定义 !所以,请注意,它看起来像是 f (x) 的图 = x² 除当你去 2,
它有这种差距,因为您不使用"g (x) = x ² 当 x = 2",您使用"g (x) = 1"。
如果我一直在说种,我道歉的。
您使用 g (x) = 1,那么究竟是在 2,它掉下来为 1,然后再沿 x ² 持续下去。
因此,有几件事情。如果我只是计算函数-g(2),
你看一看这个定义。好吧,当 x = 2,我在这里,使用这种情况
而它告诉我,它将会等于 1。让我问一个更有趣的问题,或者也许是一个更
有趣的问题。当 x g(x) 的途径 2 的极限是什么?再次,想象力的表示法,但
它要求相当相当简单的事情。这说"当 x 获取更密切和更接近 2 … …
你得到接近-,这不是一个严谨的定义,我们未来会做这视频-
随着 x 越来越接近 2,g(x) 接近?所以,如果你到 1.9,然后 1.999,然后 1.999999
然后是 1.9999999,g(x) 是什么和接近?如果您要从积极的方向发展,
如果你是说 2.1,g(2.1) 是什么?G(2.01) 是什么?G(2.001) 是什么?
那是什么随着我们越来越接近它来临?
你可以只通过绘制图形直观地看到它。如 g 获取接近 2...
如果我们遵循它沿图表,我们看到我们在接近 4,
即使这不是函数所在-功能下降到 1-作为 g(x) 的限制
x 的方法 2 等于 4。您甚至可以做这数字顺序使用计算器。
让我做,因为我觉得那会很有意思。所以让我拿出计算器...
让我得到我的诚信钛 85 出...这就是我的计算器...您可以按数字说,
好的它是什么想办法接近 x = 2 呢?所以让我们尝试 1.9。X = 1.9,您将使用此
top 子句,在这里。所以你将会有 1.9²,,这样你就可以得到 3.61。
嗯,如果你甚至更接近 2?所以 1.99,并再一次让我平方,
好我在 3.96。如果办 1.999,并平方呢?
我会更 3.996。请注意,我讲得更接近和更接近,接近我们点。
如果我真的关闭-1.999999999999² 吗?我什么我在靠近?它实际上并不将会
完全 4-这个计算器只是事情向上舍入-因为我们会有一些真的真的
真的真的接近 4。我们可以真正从积极的方向发展,也和它做些什么
当我们从接近时必须相同数量低于我们试图接近,
以上我们试图接近。所以如果我们 2.1²,我们会得到 4.4...
让我向前走两步 … …
2.0001².那么现在这是更接近 2。现在,我们正在更接近 4。
如此接近我们到 2,接近好像我们已经到 4。
再说一遍,这是一个用数值来判断极限的方法。当这个极限x趋近于2时
(从g(x)的左边或右边), 虽然当x真的等于2的时候,方程的值是1,因为这个方程不是连续的,
但是我们在接近 2时,我们越来越接近和更接近和更接近于 4, 而不是1!