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在讲143题之前
我们先看看142题 有一点错误
实际上 我们讲的是对的
尽管 我可能多绕了些弯子
因为 我做的时候有点分心
现在 我们有时间再看一下
我意识到
我想GMAT的出题人可能弄错了
因此 题目是什么?
题目是 9的x次方+9的-x次方
等于b
我们有足够的信息来解这个题吗?
这是题目说的
它并没有说 是否有足够的信息来证明
这个是正确的
它说是否有足够的信息
来解题
因此 如果有足够的信息证明这个是错误的
那这个表述仍然可以解题
因此 我们可以忽略表述一
上个视频我说它是充分的
我还是认为它完全是充分的
不过我们看看表述二
GMAT的出题人说
表述二不能充分解题
我论证一下其实是能的
因为 表述二说
x>0=b
我把这个看成 x大于0
而0等于b 或者b等于0
可能我弄错了 不过那是
我唯一可以想到的解释
因此 如果b等于0 我们要
判断能否解题的题目是什么
或者说我们要求解的问题是什么?
那个可以化成什么呢?
额 那个可以化为
9的x次方加9的-x次方等于0
问题是 如果求9的任意次方
不管几次方
能不能得到0或者一个负数呢?
实际上 等于0的唯一可能是
取9的负无穷次方 对吧?
因为 那个等于1除以9的无穷次方
它趋于0
但是 即便说这里x为无穷大
这边是9的无穷次幂
这个等于无穷大加0
因此这个还是趋近无穷大
因此 实际上 这个是不可能的
这里有极限值
我不想被整糊涂…不过不可能
有人说 哦
如果是负指数
可能那个是负数
不 负指数就是求倒数
因此 这个应该写成1除以9的x次方 等于0
因此 如果x是一个非常大的数
这个就变成正无穷 这个就趋近于0
如果x是一个非常 非常小的分数
这个数也很小
然后 这个是一个非常小的数的倒数
这个就变成一个大的数
实际上 如果x是负数 这些就交换位置
这个变成1/(9的x次方)
你懂的
这些指数互为相反数
如果x等于0 所有的这些都等于1
然后得到2等于0
就我看来 表述二能解题
但是 答案是这个式子不成立
9的x次方加9的-x次方不等于b
因为表述二说b等于0
不管怎样 我就不再多说了
但是 我认为 他们其实是错的
因为 我觉得表述二可以解题
它只是没说这个式子是成立的而已
我们接着下一题 不过挺好的
像那样的讨论挺好的 尽管有些歧义
因为 很显然 这是真正的GMAT试题
有些人可能会弄错
不过 我们可以把它作为一个说明
不管怎样 143
题目说 如果m大于0 n大于0
问 (m+x)/(n+x)是否大于m/n
有意思
因此 题目说 如果有m/n
分子分母同时加上相同的数
那个数为x
问 那样是否能使整个式子增大?
我给你们一点直观的认识
如果有一个相对于m和n非常小的数x
它对这个分数影响不大
额 我这样写吧
不管这个x多大 x越大
这个分数越接近于1
你们想想看 如果m等于1 n等于2
x等于1百万
1百万比m和n大得多
在极限的知识中 你们可能记得这个
不过 我只是想给你们一点直观知识
不管m和n多大 如果x非常大
那么 这个趋近于1
但是我不知道这个有没有用
我们看看表述
表述一 m小于n
因此 如果m小于n
也就是说这个要小于1
这个是分数
我刚刚说 如果分子分母都加上x
这个就趋近于1
不过 我们要小心
因为它没告诉我们x是正的
因此 可能是减去x
可能这个x等于负一百万
举个例子
假设m小于n
假设m=1 n=2
如果x等于1百万
或者其他类似的 假设x等于100
m+x=101 n+n=102
这个很明显大于1/2
你说 哦 非常好
表述一是充分的
首先 这不能证明是充分的
但是 很容易证明它不是充分的
因为 如果x=-100呢
那么 就是1-100=-99
然后2-100=-98
它是否大于1/2呢?额 不
这个比-1稍大一点(此处有误)
因此 实际上它是个负数
它要小于1/2
因此 表述一单独不充分
因为 我可以利用表述一来选择m n
和x
可以选不同的x
使表述成立或者不成立
这个不成立
把它划掉
我们看看表述二
表述二告诉我们x大于0
因此 我们想想只有x大于0的情况
有没有用呢?
额 如果m小于n 是有用的
因为我刚刚举过m小于n的例子了
因此 如果一开始是小于1的分数
然后 分子分母都加上
一个正数
结果会更接近1
因此 实际上是
增大了这个分数的值
你们可以用不同的数验证一下 对吧?
如果1/2的分子分母都加上1
得到2/3
如果再加1 得到3/4
再加1 得到4/5
因此 就是这样
分子分母加的数越大
它就越接近1
这个x大于0的条件结合表述一
满足我们问题
因为 一开始我们说 哦 如果x是负数呢?
那么它不成立
不过 我们思考一下 是否x大于0
单独能充分解题
当m小于n时 成立
因此 和表述一结合 能解题
但如果n大于m呢?
如果一开始的等式是4/2 会怎么样呢?
4/2是 我看看 确定一下
它是否小于(4+x)/(2+x)?
对于任意大于0的x都成立
额 我们把分子分母都加4
那么这个就等于8/6
这个数是2
这个是1又1/3
因此不成立
如果x大于0 n大于m(此处老师有口误)
这个表述不成立
为了这个表述能成立
或者说 为了能解题
实际上 这两个信息都需要
因此 两个表述一起能充分
解题
下一题 144
如果n是一个正整数
因此 题目告诉我们n大于0
问 1/10的n次方是否小于0.01?
因此 题目说1/10的n次方是否小于0.01
额 0.01等于多少?把它写出来
因此 这个表述
换种说法也就是 1/10的n次方小于
0.01也就是1/100 即1/10的平方
额 我们想一想
在解题之前
我们先来看看表述
表述一 它说 n大于2
如果n大于2 随着n的增大
这整个数是变大还是变小呢?
对于1/10
随着幂指数越来越大
实际上 结果
会越来越小
如果n大于2 如果n等于2 得到0.01
如果n等于3
尽管它不需要一定是整数
实际上 题目告诉我们它是整数
因此 如果n=3 它等于多少?
题目说 n至少要等于3
因为它是一个正整数
1/10的3次方等于多少呢?等于0.001
这个绝对小于0.01
1/10的4次方呢?等于0.0001
肯定小于0.01
因此 这个表述单独能充分解题
表述二
你也可以这么看
这个不等式可以写成 10的-n次方
小于10的平方
那么 这个唯一成立的情况是当…
不 实际上 这个方法不好
我想 我第一次解释的那个方法
可能比较好 好
表述二说 1/10的n-1次方
小于0.1
因此 我们可以做的是
这个式子两边都乘以1/10
得到什么呢?
1/10乘以1/10的n-1次方小于
1/10乘以0.1等于多少?
额 是0.01 对吧?
是它的1/10
可以化简为什么呢?
1/10的1次方 乘以1/10的n-1次方
指数相加
这个看成1次方
额 这个等于1/10的n次方小于0.01
这个表述是我们原来就有的
1/10的n次方小于0.01
因此 表述二和
题目等价
因此 每个表述单独
都能充分解题
下个视频见