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我們再多做點極限的例題
我們來做另一道題
當x趨向於3時
(x^2-6x+9)/(x^2-9)的極限是多少
不論什麽時候 看到任何求極限的題
我要做的第一件事就是把數帶入看看
如果得到有意義的結果
那樣就算做完了
通常這就做完了
我不想再說這些空泛的言論了
如果函數連續 這就做完了
但把3帶入分子後
得到了3的平方
也就是9 再減18加9
結果是0
分母也-- 看一下
3的平方減9 也是0
我們並不喜歡得到0/0
我的筆又出故障了
我們不喜歡總是得到0
那麽有沒有方法可以把式子簡化
得到一個新的表達式
從而可以在x=3處
計算出有意義的值呢
無論何時 我看到這兒的這些表達式
檢查一下就發現 它們看起來
很容易被分解
我可以分解它們
因爲或許分子分母有相同的因式
這樣就可以簡化了
它其實和--
這個看起來像x+3
不是不是 x-3
這是x-3
這看起來像(x-3)的平方
我們寫一下(x-3)乘以(x-3)
也就是(x-3)的平方
接下來分母上
你們知道如何分解
是x-3乘以x+3 對吧?
所以當x趨向於3時 這個表達式的極限
和x趨向於3時 這個表達式的極限
是一樣的
當然 我們不可能
改變這個函數或者表達式
在x=3時無定義的事實
不過如果我們能簡化它
我們就可以進行計算
假設x是3以外的任何數
可以消掉這兩項
因爲它們都不會爲0
只有當x=3時才是0
所以分子分母上
把這個消去
那麽我們可以說-- 這裡我並不是很嚴謹
但這是爲了更好地教會你們
我想你們知道了
它和x趨向3時(x-3)/(x+3)的極限
是一樣的
現在我們試著把x代入 看看會得到什麽
在分子上 是3-3
仍是0
但分母上得到6 對吧?
3加3是6
現在我們得到了一個好點的數
0/6 這是個實數 結果爲0
0/6是0
這就有趣了
第一次做的時候 得到了0/0
但現在通過化簡卻得到了0
但是 記住表達式在x=3時無定義
仍然是很重要的
它在任何地方都有定義 但-
但如果畫出它的曲線 這也是我鼓勵你們做的
你們會發現
隨著x越來越接近3
表達式的值爲0
我知道你們在想什麽
不錯 這是0/0
是不是計算表達式的值時 每次得到0/0
都會以0結束
我們來考慮一下
我把這擦掉
我們看一下-- 筆不寫了--
當x趨向1時 x^2-x-2的-
不對 是x^2+x-2
你們看到了 我在做心算
很容易犯錯
上面的表達式再除以x-1
如果我們代入計算
看一下當x=1時會怎樣
1的平方加1再減2
是0/0
我們又一次得到了0/0
我們必須想法簡化式子
分解一下分子
這和x趨向於1時--
這是x-1乘以x+2 對吧?
我想當你們見過很多求極限的問題後
你們會發現即使上面這部分
如果上面這部分難以分解
你可以試著這樣去考慮
分母上的使表達式無定義的那部分
很有可能是這上面的因子
因此有時你們可能會遇到比這更複雜的
不易分解的表達式
但是一個很好的突破點是
猜測其中一個因子會是下面的表達式
因爲這在某種意義上說是這些題目的陷阱
因爲可以簡化表達式
如果我們再次假設x不等於1
那麽這個表達式和這個表達式都不會爲0
這兩項就可以消去
我們得到 這和x+2在x趨向1時的極限
是一樣的
現在這就很簡單了
當x趨向1時x+2的極限是多少?
只需把1代入 得到3
這很有趣
當我們試著計算表達式在x=1時的值
得到了0/0
在之前的例子
我們看到了簡化之後結果爲0
而這個例子結果爲3
我很鼓勵你們
如果你們有圖形計算器
畫一下我們做的這些函數
就可以發現這是對的
當x趨近於1時
函數的值很接近
我們求得的極限
你們也可以自己想一些問題
這就是我所做的
你們自己證明
我們做下一題
我們做一道我認爲很有趣的題
當x趨向於無窮
當x趨向於無窮時
我們說 (x^2+3)/x^3
我思考這些趨向於無窮的問題
的方法
是考慮當x值非常大時
情況是怎樣的
一種有點作弊嫌疑的方法是
如果有一個計算器
即使沒有計算器
也可以代入很大的數
看看x是100萬時
以及x是10億時 情況是怎樣的
再看看x是萬億的情況
我想你們明白了
你們會看到-- 如果存在極限
你們會看出它是多少
但我思考的方法是 在分子上
增長最快的項
是x^2
這是這裡增長最快的項
在分母上 增長最快的項是什麽呢?
在分母上
x^3增長最快
那麽x^3和x^2
哪一個增長的更快呢?
是的 x^3比x^2的增長速度
要快很多
所以當x越來越大時
分母要比分子
增長的快很多
因此你可以想象
如果分母比分子增長快很多
隨著數字越來越大
會得到一個
越來越小的分數 對吧?
會逐漸趨向於0
所以隨著x趨向於無窮 表達式接近0
我知道這有點不嚴謹
但這其實正是我們思考的方式
另一種做法是將分子分母
同時除以一個數
實際上可以對這個有理分數進行相除
你們會得到一個類似於
1/x加上什麽什麽的式子
那樣你們就會發現
當x趨向於無窮時 1/x也是0
我們再做一道
我會做的很快 可能你們會感到迷惑
求一下當x趨向無窮時
(3x^2+x)/(4x^2-5)的極限
這些題看起來有迷惑性
但實際上很簡單
你們只需考慮
當x很大時會怎樣
當x很大時
這些小項
這些比大項增長得慢很多的項