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矩陣求解方程組
我們已經做了很多乘法、加法
減法和反行列式
所以,現在讓我們深入一點點 到底矩陣
的好處是什麼
記得,所有的矩陣都是
一種表示資料的方法
而所有的這些我們所知的規則,你可以
將他視為人類自己創造的規則
根本沒有自然根本的東西在矩陣中
我們學到的方法就是他要用乘法
但是我想你會在公式中看到
矩陣的方法已經被定下來
他們還挺有幫助的
我們回到代數一或代數二
當你傾向學他時我忘記
但讓我們回到線性函數
所以,什麼是線性函數
線性方程組
那麼你有兩條線,而你基本上是不得不作圖
找出其中的兩行相交的點。
所以你一定有一些相似的東西,讓我想想
就像3x+2y=7
是
3x+2y=7
-6x+6y=-1
要做到這一點在我的腦海 以確保我得到
答案等於6
我覺得這很容易解決
那我們最重要的問題是什麼?
這裡是一條線,這裡也是一條線
所以你應該找出他們相交部分
如果你畫出這裡條線
我們來畫他
只是因為這是所有關於 越來越直覺,看到
地圖矩陣的世界
矩陣的世界
矩陣的世界
這個詞在1999後有全新的定義
讓我們來看看,如果這是我的坐標軸,這是什麼?
我總是把一切都變成y=mx+b
所以這個公式是什麼?
它的y=3/2x+7/2
那麼7/2是甚麼?
他等於3 1/2還是甚麼?
如果這是7/2,那將具有31/2的斜率
因此它比值為1的斜率陡俏
他就長得像這樣
就是這條線
那
那這條線長得如何?
我用個不同的顏色
他就像這樣
好,那你知道嗎??
我做錯了
因為
那條線,我剛才發現
y=-3x+7/2
因為當你把這個放到另一側,就變成
-3x除以2,所以他就是這樣
向下傾斜
所以我們如此看
他就會變得有點斜,就像這樣
擁有-1斜率,所以我只是取近似值。
所以圖應該是長得這樣
然後這條線,我再寫一次
y=x+1
如果我是正確的話
因為這樣會變到另外一邊
全部都除6
y=x+1所以y截距為,我們說
這是3 1/2,所以他大概是1
他的斜率是1
他就長得如此
所以
當你解決一個方程組
基本上尋找滿足的x和y值
在這些方程式中
這洋紅色線告訴我們所有的x和y值
滿足這第一個線性方程式。
而這個綠色的線顯示了所有的X和Y的
滿足第二方程式。
當然,他們相交處展示了
特別是x和y滿足兩個方程中。
所以,這就是我們在代數1所做的 。
我們想解決這兩個方程式。
我們會做了替換,或者我們會擴展
然後再相加等等
正如你將看到,這基本上只是我們
在高斯 - 約當消去法中所學的
這是一樣的東西
就像我們在做高斯 - 約當消去法
然後只有一點點小改變
握想你已經懂很多了
讓我們來進入矩陣的世界
那麼,如何才能用一個矩陣代表這個問題?
我們可以像這樣寫,我們會利用
短短的時間來證明他們是一樣的
短短的時間來證明他們是一樣的
如果你定義的矩陣和我們的定義
乘法
你可以將問題設成3, -6, 2, 6
我只是提出係數,3, -6, 2, 6
如果我很快的乘上
向量矩陣XY。
而且
如果我要設置等於另一列的向量
矩陣 7,6
現在,
你可能要暫停一下,實際上只是嘗試
乘上這個,我們已經學會了
矩陣相乘的方式。
你會看到一樣的東西
但我現在要做他
如果你不想要做
所以就讓我們乘這兩個矩陣。
讓我們乘這個矩陣,看看會發生什麼。
所以,
你會怎麼做?
你從第一個矩陣得到你行的信息,
從第二矩陣的列的信息。
這是積矩陣。
所以這就是說 3x+2y=7
這就是我們寫得樣子
3x+2y=7
同樣,當你乘最下面一行,
你得到 6x+6y=6
因此,如果你覺得這樣有點混亂,去複習
我們如何乘矩陣。
但如果你只是乘了這個,你會得到
這些完全相同的方程式。
所以希望你明白,這為
表示這個問題的另一種方式。
雖然我們已經擺脫了加號
和等號。
當然,你必須知道它的代表。
但為什麼這個好用?
為什麼這個表示有用嗎?
我們稱這個矩陣a
我們
稱這個為向量x
這
不是一個變量。
這是一個向量
所以,也許我們可以大膽一些,或者我們會放向量記號
或者其他的
不管怎樣
但你會在你的課本中看到他
是粗體顯示的
然後我們稱它為向量b
和一般的記號 - 如果我沒有記錯的話 -
這是一個矩陣或粗體的向量。
矩陣不是向量
差別在於一個維度或多個維度
他們是用大寫字體表示
小寫字體表示向量
因此,這些都是矩陣,但他們也向量。
所以這就是為何要用小寫字體
所以這就是為何要用大寫字體
這只是慣例。
所以此方程具有如下形式 ax=b
在這個矩陣,向量,或者說矩陣,一樣的東西
b是這列的向量
有了這個有甚麼幫助嗎?
那麼,如果我們知道一個倒數會發生什麼?
實際上,讓我們回到上一步
如果這些都是數字,我們會怎麼做?
如果我給你代數式子 ax=b
你會如何解決?
好,你應該會兩邊同除a
另一個說法是成了它
它就是a的倒數
所以你會說整個方程式乘以1/a
1/a x a = 1/a x b
然後將它消掉
會得到 x = b/a
這就是最原始的做法
簡單的線性函數
你會怎麼做?
那麼什麼是矩陣的比喻來劃分的?
我現在要給你答案
什麼是比喻被你倒數相乘?
倒數相乘
那如果我們知道矩陣相乘
你可以就乘兩邊
的方程式為倒數
記得,順序問題
這不像是你在做現行方程式
你可以成1/a在這邊
但你可以在右邊這裡做
但是不
注意,我放在兩邊前面數字
所以你必須做前面數字
如果我們知道它是一個
我們可以成兩邊
你可以說這個方程式左邊的兩邊用反向
反向
反向一次a,向量x等於
a反向b
我所做的是我把這個表達,我乘
雙方通過逆。
和什麼是逆次?
那麼這僅僅是單位矩陣。
這是單位矩陣,次x等於
a逆b
當然這就是x。
單位矩陣倍任何其他矩陣
就是這樣的矩陣。
所以,這僅僅是矩陣x或向量x
x倍逆
所以,如果你知道,如果你給一個線性方程,
此矩陣的逆,來求解x和y,我們只是
必須乘以數倍的倒數。
而你可能會說,薩爾,這是這樣的痛苦。
由於這是一個簡單的線性方程求解。
為什麼我會去通過的所有的麻煩得到一個逆,
然後乘以逆這個次數。
我同意你到一定程度。
對於方程組的2×2系統,它是比較容易
解決這個問題,你在代數1或2代數做它的方式。
但是,如果你正在做一個3×3,好了,找到一個矩陣
對於3x3仍然相當困難
所以它仍然是困難的。
但是當你得到越來越大的數字,它是
有時 - 好了,找到一個矩陣是很困難的太多 -
但實際上真正的地方,它你真的,真的
不負有心人,讓我再次說,你有一堆線性的
方程組的求解。
和左手側保持不變。
但你不斷變化的右手邊。
因此,讓我們說你有ax = b
然後你有一個又一個,說,ax = C,
和ax = d
這些數字不斷變化。
這些數字是相同的。
那麼它真的不負有心人,解決了逆。
然後每次你需要找到一個新的解決方案,您
只要乘以你新的右邊的倍數
逆,而你只是得到答案。
那真的會回報,當我們看
這個以另一種方式。
但無論如何,我想告訴你,
這是同樣的事情。
因此,讓我們解決使用
知識是矩陣。
讓我抹去這個在這裡,我知道我跑過來的時候,
但希望我不是完全讓你厭煩。
所以
我會繼續留在這裡,只是因為我覺得
這是很好的有一個視覺表示
就是我們正在做的。
永遠要記住這是怎麼回事。
那麼,什麼是逆?
所以首先,在一個倒數等於1比
這行列式矩陣的時代伴隨的。
我不希望得到與花哨的術語和所有,但
那是什麼?
2乘2是相當容易的。
你換這兩個答。您可以在一個6和3。
然後你讓這兩個名答變負。
這樣一個-6變為6。
和一個2變為負2。
好
a的決定因素是什麼?
的行列式等於這個時候,這本負
乘上這個
所以,3次6。
3次6是18減這個乘以這個
如此6次2是12。
這是一個負6。
這就是負12。
所以負負12
等於正12
所以18加12等於30。
那麼,一個反平等的嗎?
1超過30次這樣的事情。
因此,一個倒數等於 - 我們甚至可以保持1/30在
外部。
這
可能簡化事情。
那麼實際上我把它 -
因此,一個倒數等於什麼?
這除以30。
所以這是1/5,負 - 其實我也想保留它
在外面,因為這將會使以後的
乘法容易。
因此,無論如何,一個等於1/30倍6,減去2,6,3。
這是一個逆。
所以,現在讓我們來求解x和y。
所以我們說x和y是等於一個逆與b。
因此,我們可以例如x - 另一種方式來寫,x是這個樣子。
x是眼前這個向量。
x和y。
不要感到困惑,這個x是大於使得x不同,即使
雖然我已經寫了他們一樣。
如果我是一個印刷工,我會把這真的大膽,
讓你知道,這是一個向量。
也許我應該用向量表示法。
我不知道。
你可以這樣做了一堆東西吧。
這等於一個逆乘以這個
所以這是1/30。
我這樣做,只是為矩陣加法。
我沒除以30的一切,只是讓矩陣
乘法是更容易一些。
負2,3,次6分之7。
所以,
這是什麼等於?
它等於1/30倍 - 我知道我擠迫下來
在這裡 - 讓我們來看看。
6次7減2倍6。
所以6倍7是42。
減去兩次6,這是負12
所以,這等於30。
然後6次7加2次6。
所以6倍7,再次是42。
加2倍6。
42加12是50。
是這樣嗎?
6次7 - 哦,對不起。
這是一個3。
這就是為什麼我越來越糊塗。
看,重要的是要具有良好的筆跡。
所以它的6倍7是42,加3倍6。
因此它是42加18,它是60。
當然你用30除以他們兩個。
所以,你得到最終的XY。
我會在這裡寫出來。
我不想刪除任何東西。
因此,我們得到的xy等於 -30 除以兩個東西
等於1和2。
因此,它告訴我們,這兩個線性方程組
相交於點x等於1,y等於2。
這似乎是一個工作大量了一點點,但是這
只是因為我花時間來解釋它和所有。
但如果你只是拿把這個情況,它表示這
找到
利用你很多時間
我鼓勵你做練習
不管如何,我要在另一個影片中看到你
在下一部影片,我們要做一樣的題目
但我們現在要來看這個資料顯示了
另一個問題
看看吧
謝謝觀賞