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上集
我们知道系统可以通过膨胀做功
在我们画的那个例子中
盖子可以移动
相当于一个活塞 然后
就像是准静态过程那集
上面有一些石子
移走一块石子
那么系统的压强…
如果我们假设
石子非常小
以至于压强是常数
它就会把活塞推上去
我们又算出那个力的大小
因为压强是单位面积上的力
只要将压强乘以活塞的面积
就能算出施加的力的大小
施加的力 它乘以
活塞上升的距离
就得到膨胀
所做的功的大小
或者说膨胀功的大小
我们说过
我们可以重新整理一下
如果是 压强乘以面积
再乘以距离
我们就可以把它写作
压强 乘以面积 乘以距离
而面积乘以距离
就是体积的变化
所以就可以得出一个简练的方程
系统做的功可以写成
压强乘以体积的增量
这时
我写出热力学能方程
有关系统所做的功
所以这里是减号 对嘛?
因为做功的时候
是把能量给了环境
所以这时 这里用减号
因此如果不写功 我们可以写
减去压强乘以体积的变化
要记住 这是一个准静态过程
每次的变化量很小
我们假设
体积的变化非常小
实验过程中
压强基本恒定
当然实际上并非如此 对嘛?
如果这样
如果体积变化很大
或者是突然变化
如果这些石子非常大
那么膨胀的时候压强会变大
这就很难说
压强乘体积的变化是什么意思了
如果我们假设
这些的变化量
都非常非常小
我们就可以说 呐
比如压强在这个小增量上
是恒定的
然后我们就可以用它乘以
体积的变化
接下来 我们来看这个和
之前P-V图
有什么联系
目前为止 我们见过所有P-V图
或者它的应用
都多少能帮助理解
不同的准静态过程
或者判断何时能够确定宏观状态
现在我用它来做些更有用的事情
这会给告诉你一个原因
或者初步给你一个解释
为什么学热力学的人对它爱不释手
在我做实验之前
当活塞在这里的时候
我把全部石子都留在上面
系统处于平衡状态
我可以描述它所有的宏观状态
它的压强 体积 温度
我还可以讲出它的热力学能
我画在这里吧
比如说当时是这个状态
这是状态1
状态1就在这里
然后 假设我开始移走石子
记住 如果我一下子移除全部石子
整个系统就会崩溃
我们就不会得到准静态过程
或者可逆过程
这两者有时候不能互换
但是为达到目的
我们不能让系统一直处于平衡
要等一下才能达到平衡状态
在某一时刻 我们的压强和体积
是这么多
如果这例子不是
准静态过程
接下来…
上集我讲过了
我们把它当做一个…
或者说我们尽量接近
准静态过程
因为每次通过这些小石子
达到的变化量很小
如果这些石子不够小
你可以用更小的石子
那么我们渐渐的移动
例如 在上集中
我们可能从这里开始移动
移走一个石子 就到这里
再移走一个石子 到这里
再移走一个石子 到这里
它是准静态过程的
好处是
你知道从一个状态到下一个状态的过程
如果你把石子都移走了
只剩下最后一个
你懂的 这描述了整个过程
假设我们处于状态2
只剩下一个石子
让哥画一下
状态2看起来就是…
我迅速画一个
这是俺们的容器
这是活塞
上面只剩下一个石子
当然这里有气体
我写下来吧
这是状态2
我再画个状态1 大概是这样
状态1 盖子低一点
上面有一堆石子
系统的体积更小一点
所以气体粒子更加激烈地
碰撞盖子、容器壁和底
我画的气体粒子一样多
所以压强更大
因此 压强大 体积小
在状态2…
这是高压
纵轴是压强
横轴是体积
所以这点是压强高 体积小
只剩下一个石子时
系统达到了这个状态
整个变化非常缓慢
所以我们一直处于平衡状态
由此得到变化的途径
这是移走每一个石子后的情况
所有压强和体积等宏观状态
都是确定的
但是在状态2
现在是 压强低 体积大
体积大 你懂的
因为我们一直慢慢地向上推活塞
为了保持平衡状态
这样宏观状态才能一直稳定
而压强低是因为
我们的粒子数目不变
但是它们
撞击容器壁的次数降低
因为它们
运动的空间变大了
这都非常合理
因此这就描述了系统
如何过度
或者经历这种变化的过程
也就是准静态过程
每一点的状态都是稳定的
现在我们说
系统在任何一点所做的功
等于压强乘以体积的变化
这如何在P-V图中表现出来?
体积的改变
就是X轴上的改变
沿着X轴 我好像应该把它叫做体积轴
这是体积变化
从这个体积开始
如果我们拿走了一个石子
体积就变成了这个
接着 我们把它乘以压强
因为每次的变化量很小
非常接近于平衡状态
我们可以假设
在这段时间内
压强几乎不变
因此可以说
这就是这段时间的压强
那么我们做了多少功呢
就是这里的压强
乘以这个体积
也就等于这个矩形的面积
如果你们看过我的微积分课
这个看起来就很眼熟了
那么如果
再移走一块石子 又会如何?
呐 现在压强降低了一点
这是我们新的压强
压强稍微降低了一点点
我们用它乘以
新的体积增量
乘以这个体积的变化
就得到功的增量
同理 就等于这个矩形的面积
如果我们一直这样下去
所做的功就是
我们拿走每个石子形成的
这些矩形的面积
你可能要说…
尤其是如果你没有
看过我的微积分课
天哪 你知道 这可能非常近似
但是这些矩形的面积
不精确等于曲线的面积
有点不精确啊
有些误差啊
我的回应是
如果你担心那些小误差
你就可以
让体积增量变更小
如果你想
每一步的体积增量更小些
你就要移走更小的石子
这就回到了我们努力
接近理想准静态过程
所以如果这样做
最终 ΔV
就会变得越来越小小小
这些矩形就
越来越细
就需要越来越多的步骤
但最后你还是会达到这一点
如果ΔV的变化非常小
在微积分中 无穷小的变化
写作dV
如果你把压强乘dV的积都加起来
就得到了曲线下的面积
因此分析P-V图的
思路是
如果有人假设
从这点出发
从这个压强和体积
变成这个压强和体积
然后他们问 一共做了多少功?
你会说 哦 我需要
算出曲线下的面积
如果你想了解这背后的数学原理
你可以把压强
转化成体积的函数
如果你没有看过微积分课
你可以忽略
我这里的小注解
这个曲线
假设你这样写
家和你可以把压强
写成体积的函数
在代数课程中
你学过曲线就是
你知道 y是x的函数
回到这里 y是压强 x是体积
所以这里压强是体积的函数
那么曲线下的面积
就是压强对体积的函数的积分
也就是任意一点的高度
乘以这个非常小的体积增量
乘以这个非常小的体积变化
然后从第一个ΔV开始将函数相加
从起始体积到最终体积
我们以后会算一遍
尤其是在我们开始接触熵的时候
不过这是个很简介的结论
即使如果你不会微积分
或者你觉得这很难理解
或者你从没有见过积分
你可以忽略它
但是你可以直观地观察一下
然后发现我求的就是
曲线下的面积
现在 我再问你一个问题
假设 环境对系统做了点功
我们把石子加回去
那么假设…
其实 假设我们向这个方向进行
假设我们从状态2开始
向这个方向变化
方向很重要
那么假设我们朝这个方向变化
我应该加几个箭头
但是这个图被我画得太花了
我重新画一个图好了
这才是最佳方案
所以这个是压强 体积
我画两个好了
压强 体积
我画两个图了
好啦
第一个图纵轴压强 横轴体积
压强 体积
我们从状态1开始
最后到状态2
所以系统实际上
把活塞向上推了
它可能是一条曲线或者是直线
我不打算讲得太深
但是它朝这个方向变化
所以我们可以说 所做的功
就是每刻压强乘以体积增量的和
因此所做的功
等于曲线下的面积
现在 如果我们从状态2开始
回到状态1
从2到1
这会如何?
这时系统在压缩
所以如果我们朝这个方向
你会可能会说 噢
系统做的功应该
还是曲线下的体积
你回答的差不多
为什么呢?
现在 我们在压缩系统
我们在把石子加回去
我们在向系统输入能量
假设如此
要记住 系统所做的功等于
压强乘以体积的“增量”
不过现在是
压强乘以体积的“减少”
所以反方向进行的时候
面积不是系统所做的功
而是环境向系统做的功
我用个不同的颜色表示
绿色是环境向系统做的功
现在我给你讲
另一个有趣的概念
其实是个关键的概念
这里最好能有个直观的感受
我再画一个
非常简单的P-V曲线
哎呀 用错笔了
假设 我们从某状态开始
状态1
然后我手痒 你懂的
这是个准静态过程
然后鬼马的事情发生了
系统到达状态2
它朝着这个方向变化
所以体积在增加
所以这时
系统所做的功是多少?
很简单 就是曲线下的面积
然后 假设
系统一直处于准静态过程
但是通过不同的途径实现
我用其他方法实现
而不是直接把石子放回去
新的途径看起来是这样的
回到状态1
这些箭头要倒回去
那么 现在环境对系统做功是多少?
体积减小
那就是第二条曲线下的面积
第二条曲线下的面积
就是环境对系统做的功
所以如果我想知道
系统净做的功是多少
在从状态1到状态2
再回到状态1这个过程中
要记住 这是P-V图
净功是多少?
呐 系统所做的功
是棕色曲线下的整个面积
然后环境对系统做的功
是洋红色曲线下的面积
系统净做的功的就是
整个黄白区域 减去红色区域
因此净做功的大小
就是曲线中间的部分
你不用微积分应该也可以理解
虽然你计算的时候
需要用到微积分
但是我只是想给你一个直观概念
封闭曲线中间的面积其实就是
系统净做功的大小
而且最重要的是
过程进行的方向
系统增加体积
然后减少体积
就像顺时针走一圈
这是系统做的功
也就是 嗯…
对我来说 这很有意思
之后我们会用这个概念
来提出状态函数背后的
其他概念
我再说一点题外话
记住 对宏观变量压强和体积
我们做一点变化
然后回到这个状态
它们没有改变
我还想说一个问题
为了达到目的
遇到理想气体的时候
热力学能就是
系统的动能
如果系统被搞得乱七八糟
然后再复原
热力学能没有变化
因此这点的热力学能
天荒地老 此“值”不渝
那么我问
系统走了一圈回来
热力学能的变化是多少?
是0
变化是0
那如果我说 从这里到这里
热力学能就不同了
系统确实变了
但是因为它是个状态函数
它不关心系统是如何过来的
如果系统走了一圈然后回到这点
它只会说 呐
只要我在P-V图的这点上
我的热力学能就不变
那如果我从这点开始
到这点结束
我的热力学能就依然如此
下集 我们会再
仔细讲讲
留你一个P-V图
曲线下面积的直观体验
本集就到这里