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到底牛頓是如何發現萬有引力定律的呢?
在亞里士多德時代
一般人普遍認為
月上和月下是兩個截然不同的世界
裏面的物體遵從不同的法則
直至牛頓出現
他用一套公理
即牛頓的運動三定律
以及萬有引力定律
就能夠完全解釋月上和月下
兩個看起來完全不同領域的現象
歷史學家科恩認為這可以說是牛頓最偉大的成就
他亦提到
人類開始認識到
實驗和觀察再加上演繹的數學推理能夠帶給我們知識
那到底牛頓是如何運用觀察、實驗以及數學
去發現萬有引力乃是遵從平方反比的規律
並統一月上月下兩個世界呢?
牛頓在他的《原理》卷三裏面
做了一個一般稱為做月球試驗的證明
這個證明指出
月球圍繞地球轉
是因為受到地球所施加的萬有引力
這股力是一個向心力
而且遵從平方反比的規律
即月球受到地球的引力 F 與距離 r 有關
距離如果大一倍
受到的力就會是原來的四分之一
這個月球試驗的證明亦都意味着
看起來似乎完全不同的月上世界裏面的物體
其實與地面上的石頭都是遵從相同的運動規律
在本質上並無分別
這個證明主要分成三個部份
而每個部份都是依賴一些觀察或者實驗的結果
它們分別是
一、計算令月球圍着我們轉的向心力有多大
牛頓第二運動定律告訴我們
物體的加速度是正比於它所受的外力
所以等同於我們要計算月球的加速度
二、想像月球不是在天上,而是很接近地面
假設萬有引力遵從平方反比的規律
我們要計算這個假想的月球
感受到的向心力所引致的加速度又會是多大
三、測量在地面附近的石頭之加速度又是多大
我們將會發現二和三的加速度幾乎完全相等
從而印證令月球在天上圍着地球轉的引力
和令地面的石頭向下跌的引力本質上相同
可以用同一個原理去解釋
我們先看看第一部份
即月球的加速度有多大
我們會用月球一秒鐘所走過的距離 d 來描述其加速
根據托勒密、哥白尼等天文學家的觀察
月球和地球的平均距離大約是地球半徑的60倍
而地球的周長,根據當時的測量
大約是1億2千3百萬巴黎尺
根據上面的觀察
月球公轉軌跡的周長是這個數字的 60 倍
而月球圍繞地球一周所需要的時間是27日7小時43分
因此我們可以得到
月球一秒鐘所行的弧線距離是 3132 巴黎尺
我們注意到月球這個運動
可以看成是一個向地心方向的運動
和與之垂直的切線方向運動的合成
假如月球並無切線方向的運動
它會在一秒鐘裏向地心跌落多少呢?
簡單而言,我們可以將以上計算得到的數字
代入牛頓在《原理》卷一命題四的公式
答案將會是 0.004167 巴黎尺
這個就是第一部份得到的結果
至於第二個部份
我們可以運用伽利略透過實驗和數學證明所得到的結果
即在一定的時間之內
物體在固定作用力之下
從靜止向下跌的距離是正比於所受的力
如果我們假設萬有引力遵從平方反比的規律
那物體下跌的距離
會反比於距離的平方
因為地球半徑比月球軌道半徑小 60 倍
所以如果月球在接近地面受向心力作用
而又沒有一個切線方向的運動般向下跌
那麼它下跌的距離會更多
在一秒鐘裏面下跌 15.0089 巴黎尺
這個就是第二部份要得到的結果
最後第三個部份
到底地面附近的石頭
受地球引力的作用一秒鐘會向下跌多少呢?
留意在牛頓的年代
是沒有一些準確的計時工具,例如秒錶
去測量石頭一秒鐘裏面下跌的距離
那牛頓豈不是要等到發明秒錶之後
才可以發現萬有引力?
大家不需要擔心
原來當時的物理學家惠更斯
已經用鐘擺做了許多實驗
發現原來物體一秒鐘下跌的距離
可以透過一個鐘擺的長度去求得
其答案為 15.0956 巴黎尺
這個是第三部份要得到的結果
由於第二部份和第三部份所得到的數值幾乎完全相等
我們可以推論得到
原來令到月球圍着地球公轉的向心力
和令石頭向下跌的地心吸力
其實是同一種作用力
而且這股力遵從平方反比的規律
看完這個證明之後
你又會不會覺得用同一套規律
就能夠統一解釋天上地下兩個不同世界的現象
是一個十分偉大的成就呢?
你又會不會覺得觀察、實驗和數學
對於尋求知識
起了一個相當重要的作用呢?