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假設點A(0,0)和點B(b,2)是坐標平面上的點
假設六邊形ABCDEF是一個凸面等邊六邊形
凸面意味著它不是凹面 凹面六邊形就像這樣
這是2條邊 3條 4條 5條 6條
這是一個凹面六邊形
這兒會有凹陷
所有的邊都是等長的
那麽這是一個等邊六邊形
他們沒有告訴我們這是個正六邊形
那麽我們不知道所有的角度都是相等的
但是知道所有的邊是相等的
∠FAB=120°
然後告訴我們一係列邊相互平行
六邊形頂點的y坐標
分別爲0 2 4 6 8 10
六邊形的面積可以寫成這種形式 m乘以根號n
在這m和n都是正整數
同時n不是任何質數的平方的倍數
這是一種奇特的表述
我們已經盡可能的化簡這個式子了
求m+n
那麽實際上 首先我們要確保
我們可以想象出這個六邊形
我來畫一下 我們知道一個點 一個頂點(0,0)是確定的
我畫一下x軸 這兒是我的x軸
然後是我的y軸 y軸像這樣
y軸 我們知道頂點A在點(0,0)處
這是頂點A
現在我們知道所有頂點的y坐標
是0 2 4 6 8 10
它們是一係列不同的數字
這就意味著沒有兩個頂點的y坐標是相同的
這些點不可能在同一水平線上
我標出刻度來
x軸處是0
然後y等於2
然後y等於4 y等於6 y等於8
然後在這兒y等於10
現在點B我們已經知道了 那麽點A我們已經使用了0
點A已經使用了0
點B使用2是已知的 點B的y坐標是2
點B的y坐標是2 我們也使用了2
我來看一下 我是否可以在這兒畫點B
我來看一下 我是否可以在水平線的某處畫點B
我們假設六邊形的邊長是s
我們不知道邊長是多少 但是所有邊長都是相等的
我們稱它爲s 這可以幫助我思考
現在我知道這是等邊六邊形
所有邊的長度都是相等的
那麽B可以在這兒
B在這兒(b,2)
雖然我們不知道b是多少 但是這是我們的頂點B
點F是與點A相鄰的另一個頂點
點F不在這條水平線上 不能在直線y等於2上
它也不能在直線y等於6上
因爲這樣這段距離太大了
很顯然比這兒這段距離大
而事實上你可以這麽做
但是之後你將不能畫一個凸面六邊形
因此下一個頂點將不得不在這條水平線上了
那麽它的距離是s
那麽它的距離是s 很可能它會像這樣
像這樣一樣 讓我畫一下
這是下一個頂點 這是頂點F 對嗎?
因爲我們沿著點A B C D E F然後回到點A
說得對 現在找頂點C
好了 頂點C不能在水平線y=4上
因此它不得不在水平線y=6上
那麽頂點C不得不在像這樣的一些地方
像這樣的一些地方 這是頂點C
再一次長度爲s 這個長度是s
現在頂點E呢?
不能在水平線y=6上 已經被頂點C占據了
4和6已經被占據了
它不得不在水平線y=8上
這是長度s
我們知道現在我們將回到原點
那麽這兒是頂點E
我們知道我們將回到原點
不是原點 我們要回到相同的x值的點
這個點將在y軸上
原因是這是長度s
這是長度s 它們都不得不-
兩條斜線的長度是相同的
它們經過相同的垂直距離 這條底邊是4
這條底邊是4 因此你可以把這看作是兩個直角三角形
它們的底邊是4 斜邊是s
它們擁有這兒這條公共邊
這條邊向左偏離了這麽一段距離
這條邊又回來這麽一段距離
同理
這個點還要回來
因此 現在我們使用y=10上的坐標
y=10水平線或者y軸坐標等於10
這是我們唯一一個還沒使用的 爲點D
既然這兒凸出來了
當斜線長度爲s時
向上經過的距離爲4
這次同理 斜邊的長度爲s
它向上經過的距離爲4 向外移動了這麽一段距離
在另一個方向上我們回去 向上經過距離爲4
回到同一方向
這恰好在點B的上方
那麽點D的坐標實際上是(b,10)
這裡的y坐標是10
你瞧我們有我們的六邊形了
我們已經畫完我們真實的六邊形了
題目告訴我們所有的這些平行線信息是
AB平行於DE
AB平行於DE 在這是很顯然的
BC平行於EF
BC平行於EF
他們說CD平行於FA
那麽CD平行於FA 我們將它們標記出來就看得很清晰了
就像這樣
現在我們確定面積
我們確定這個六邊形的面積
未來求出s的值是多少
這看起來像是一個良好的開端
爲了計算s是多少
事實上它將成爲
我們所標出來的這些量的函數
我們畫一下 這是一個等邊六邊形
有點歪斜 是一種 我們畫得歪曲了一點
但是所有的邊都是相同的長度
那麽我們稱這個角爲θ
我們稱這兒的這個角度爲θ
我們已知∠FAB=120°
∠FAB=120°
是120°
那麽左邊的這兒這個角
那麽左邊的這兒這個角將是180°-120°-θ
180°減去120°等於60°
這兒的這個角是60減去θ
我這麽做的原因是我們有一些信息
我們知道在這兒 我們向上經過的距離是4
我們知道在這兒 我們向上經過的距離是2
或許我們可以使用這個信息求出s
因爲s是全部這些
我所構建的直角三角形的斜邊 我畫一下它們
這兒的這個直角三角形 我可以這樣畫
我可以這樣畫 那麽這是s
這是θ 這條邊長是2 這是這兒的這個直角三角形
這個直角三角形看起來像這樣
它看起來像這樣
這個角度是60°減去θ
這兒的這個高是4
那麽我們看一下爲了求s我們可以做些什麽
左邊的這個三角形 右邊這個三角形
這個三角形告訴我們
如果我們計算sinθ
sinθ等於對邊除以斜邊
等於2除以s 這個三角形告訴我們正弦
記住這兒的斜邊也是s
sin(60°-θ)
sin(60°-θ)等於4除以s
如果我們讓彼此相等
我們可以將這個等式兩邊同乘以2
你可以看到2乘以sinθ等於4除以s
Sin(60°-θ)也等於4除以s
我們可以讓它們彼此相等
那麽我們得到2乘以sinθ
我們得到2乘以sinθ等於
sin(60°-θ)
然後我們可以使用一些三角函數恆等式
我們知道sin(a-b)
sin(a-b)等於
sina乘以cosb
在這種情況下我可以說θ
那麽sin60°cosθ減去
這只是一個標準的三角函數恆等式
這裡有個減號 那麽和式中有個減號
減去cos60°
減去cos60°乘以sinθ
乘以sinθ 所有這些等於2sinθ
2sinθ sin60°
這是根3除以2
根3除以2
cos60°是1/2 是1/2
我們可以在等式的兩端同時加上1/2
我們將得到什麽
那麽我們加上1/2 sinθ
然後這一項消去了
然後1/2 sinθ加上2sinθ
2sinθ也就是4/2 sinθ
那麽這將等於5/2 sinθ
我加上1/2 sinθ
這是5/2 sinθ
等於根3除以2乘以cosθ
根3除以2乘以cosθ
對吧? 等式兩邊同時加上1/2 sinθ
等到這些東西 爲了將它化簡我可以在等式兩邊同時乘以2
那麽我得到5sinθ
5sinθ等於根3乘以cosθ
現在我想使用這個恆等式
正弦的平方加上餘弦的平方等於1
那麽讓我將兩邊取平方
這同時也會幫助我們消去根號
那麽我們將得到25乘以sinθ的平方
等於3乘以cos θ的平方
不寫成cosθ的平方
我們寫成1減去sinθ的平方 對嗎?
cosθ的平方等於1減去sinθ的平方
等式兩邊平方
那麽我寫下我剛剛說的
我對等式兩端平方 那麽我們得到25sinθ的平方
等於3減去3乘以sinθ的平方
我們可以在等式的兩端同時加上3乘以sinθ的平方
我們得到28乘以sinθ方等於3
或者sinθ的平方 到了沖刺階段了 等於3/28
或者我們甚至可以寫成sinθ
sinθ等於根號(3/28)
那麽它等於根號(3/28)
現在我們可以化簡28 28等於4乘以7
那麽我們可以把它提出來
但是現在這已經足夠好了
或許隨後如果我們不得不化簡的話
我們將再化簡它 這是很容易化簡的
那麽我們看一下 在這兒我們知道sinθ
現在我們可以把它和這兒的s聯係起來 我們知道這些
我們在進行這些處理之前就知道它了
我們知道sinθ等於2除以s
或者s除以2等於1/sinθ
或者s等於2/sinθ
好了我們知道sinθ是多少
它等於根號(3/28)
s等於2除以sinθ
也就是乘以sinθ的倒數
那麽它等於2乘以根號(3/28)
28/3 因此這就是我們求得的s
2乘以這兒的這一項
現在已知s 我們看一下我們怎樣求出面積
好了 立即浮現的是
我們在這兒還有這個三角形
這個三角形的高 或者我應該說它是底邊
如果我們從側面看它 它的底邊是8
它的底邊是8
我們能計算出這兒的這段長度
我們可以使用勾股定理來計算
因爲我們知道這兒的這段長度是4
我們知道這段長度是4
我們知道這段長度 斜邊爲s
我們把這兒的這條邊稱爲三角形的高
我們可以說h的平方
h平方加上4的平方 加上16等於
斜邊的平方 等於s的平方
s的平方 s等於這一項 那麽如果我們想求s的平方
它等於4乘以28
4乘以28除以3
我們在等式兩邊同時減去16 那麽h等於
4乘以28除以3再減去
如果我想寫成除以3的形式
或者如果我想寫成除以3的形式
將是減去48
減去48/3
我們看一下 我不想像乘
我不想計算4乘以28
那麽你可以把48寫成4乘以12
那麽這個分子將是
4(28-12)除以…
記住這是h的平方 我應該早說的
h的平方是
它等於4乘以16除以3
等於64除以3 這是h的平方
那麽h等於根號下這一項 等於8
除以根號3
那麽這兒的h是8除以根號3
那麽如果我想求出這兒整個六邊形的面積
首先我們求出這兒這個小三角形的面積
它等於h乘以4
它將等於
好了 我可以使用另一種方式做
但是我們說這個三角形面積等於h乘以4乘以1/2
它等於2乘以這個三角形的面積
我把它塗成藍色 這個三角形的面積將是h
它是8除以根號3乘以4
乘以4乘以1/2
那麽這就等於
2乘以8除以根號3
或者說它將等於16除以根號3
那麽這兒的這個面積是16除以根號3
那麽這是16除以根號3
現在我們有數個這樣的三角形 我們有這個
這個 這兒的這個三角形
也有完全相同的面積
然後有這個三角形
它也有完全相同的面積
同理 同樣的底邊 同樣的高
事實上它們是全等的
那麽有四個這樣的三角形
那麽將要乘以4
如果你想要求得這個面積的話
我已經置爲陰影的這個面積 4乘以這一項
它等於64除以
它等於64除以根號3
現在我們剩下唯一需要求的面積
是這個平行四邊形的面積
中間這個平行四邊形的面積
現在我們知道平行四邊形的底邊
平行四邊形的底邊是8
平行四邊形的底邊是8
我們僅僅需要求出它的高
我們僅僅要求出它的高
我們再一次使用勾股定理
那麽我把這一條邊稱爲 我不知道 我已經使用了h
我將再一次使用h 但是這是
你不得不記住 在這它是一個不同的高
這兒的這個底邊的長度是2
2 現在很難辨別了
那麽現在我們可以寫
我們可以寫h的平方加上4 加上2平方等於
等於s的平方
現在 我們過去已經求出s的平方是多少了
它是4乘以28除以3
4乘以28除以3
我們將兩邊同時減去4
我們在這兒減去4 那麽減去12除以3
現在我們看一下 12和4乘以3是相等的
那麽這是 這一項等於4乘以28
4(28-3)
那麽這是4(28-3)
也等於100/3 這是h的平方
那麽這個h將等於根號下這一項
等於10除以根號3
這是10除以根號3
那麽這兒的這個長度是10除以根號3
這個平行四邊形的面積等於
這個高乘以平行四邊形的底邊
那麽平行四邊形的面積將等於
8乘以10乘以根號3
80乘以根號3
80 噢 不 我得謹慎些
我謹慎些
這是10除以
這是10除以根號3 是這個高
那麽這個平行四邊形的整個面積是
8乘以10除以根號3
因此它等於80除以根號3
那麽現在這個面積 如果我們將所有東西都加起來
如果我們將所有東西都加起來
我們有64除以根號3 這四個三角形的面積
加上80除以根號3 我們把它們加起來
我們有平行四邊形(的面積) 80除以根號3
加上三角形部分 64除以根號3
這等於144
除以根號3
我們可以分母有理化
那麽乘以根號3 除以根號3
現在的分母 我們將得到3
144除以3是
是多少 是48 對嗎?
3乘以40是120
3乘以8是24
那麽我們整個的六邊形的面積
將等於48乘以根號3
我們得到了這種形式 48乘以根號3
那麽如果我們想求m+n
它是48加上3 等於51
這是一個很麻煩的問題 爲了求解這道題
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不管怎樣 希望你們喜歡