Tip:
Highlight text to annotate it
X
假设点A(0,0)和点B(b,2)是坐标平面上的点
假设六边形ABCDEF是一个凸面等边六边形
凸面意味着它不是凹面 凹面六边形就像这样
这是2条边 3条 4条 5条 6条
这是一个凹面六边形
这儿会有凹陷
所有的边都是等长的
那么这是一个等边六边形
他们没有告诉我们这是个正六边形
那么我们不知道所有的角度都是相等的
但是知道所有的边是相等的
∠FAB=120°
然后告诉我们一系列边相互平行
六边形顶点的y坐标
分别为0 2 4 6 8 10
六边形的面积可以写成这种形式 m乘以根号n
在这m和n都是正整数
同时n不是任何质数的平方的倍数
这是一种奇特的表述
我们已经尽可能的化简这个式子了
求m+n
那么实际上 首先我们要确保
我们可以想象出这个六边形
我来画一下 我们知道一个点 一个顶点(0,0)是确定的
我画一下x轴 这儿是我的x轴
然后是我的y轴 y轴像这样
y轴 我们知道顶点A在点(0,0)处
这是顶点A
现在我们知道所有顶点的y坐标
是0 2 4 6 8 10
它们是一系列不同的数字
这就意味着没有两个顶点的y坐标是相同的
这些点不可能在同一水平线上
我标出刻度来
x轴处是0
然后y等于2
然后y等于4 y等于6 y等于8
然后在这儿y等于10
现在点B我们已经知道了 那么点A我们已经使用了0
点A已经使用了0
点B使用2是已知的 点B的y坐标是2
点B的y坐标是2 我们也使用了2
我来看一下 我是否可以在这儿画点B
我来看一下 我是否可以在水平线的某处画点B
我们假设六边形的边长是s
我们不知道边长是多少 但是所有边长都是相等的
我们称它为s 这可以帮助我思考
现在我知道这是等边六边形
所有边的长度都是相等的
那么B可以在这儿
B在这儿(b,2)
虽然我们不知道b是多少 但是这是我们的顶点B
点F是与点A相邻的另一个顶点
点F不在这条水平线上 不能在直线y等于2上
它也不能在直线y等于6上
因为这样这段距离太大了
很显然比这儿这段距离大
而事实上你可以这么做
但是之后你将不能画一个凸面六边形
因此下一个顶点将不得不在这条水平线上了
那么它的距离是s
那么它的距离是s 很可能它会像这样
像这样一样 让我画一下
这是下一个顶点 这是顶点F 对吗?
因为我们沿着点A B C D E F然后回到点A
说得对 现在找顶点C
好了 顶点C不能在水平线y=4上
因此它不得不在水平线y=6上
那么顶点C不得不在像这样的一些地方
像这样的一些地方 这是顶点C
再一次长度为s 这个长度是s
现在顶点E呢?
不能在水平线y=6上 已经被顶点C占据了
4和6已经被占据了
它不得不在水平线y=8上
这是长度s
我们知道现在我们将回到原点
那么这儿是顶点E
我们知道我们将回到原点
不是原点 我们要回到相同的x值的点
这个点将在y轴上
原因是这是长度s
这是长度s 它们都不得不-
两条斜线的长度是相同的
它们经过相同的垂直距离 这条底边是4
这条底边是4 因此你可以把这看作是两个直角三角形
它们的底边是4 斜边是s
它们拥有这儿这条公共边
这条边向左偏离了这么一段距离
这条边又回来这么一段距离
同理
这个点还要回来
因此 现在我们使用y=10上的坐标
y=10水平线或者y轴坐标等于10
这是我们唯一一个还没使用的 为点D
既然这儿凸出来了
当斜线长度为s时
向上经过的距离为4
这次同理 斜边的长度为s
它向上经过的距离为4 向外移动了这么一段距离
在另一个方向上我们回去 向上经过距离为4
回到同一方向
这恰好在点B的上方
那么点D的坐标实际上是(b,10)
这里的y坐标是10
你瞧我们有我们的六边形了
我们已经画完我们真实的六边形了
题目告诉我们所有的这些平行线信息是
AB平行于DE
AB平行于DE 在这是很显然的
BC平行于EF
BC平行于EF
他们说CD平行于FA
那么CD平行于FA 我们将它们标记出来就看得很清晰了
就像这样
现在我们确定面积
我们确定这个六边形的面积
未来求出s的值是多少
这看起来像是一个良好的开端
为了计算s是多少
事实上它将成为
我们所标出来的这些量的函数
我们画一下 这是一个等边六边形
有点歪斜 是一种 我们画得歪曲了一点
但是所有的边都是相同的长度
那么我们称这个角为θ
我们称这儿的这个角度为θ
我们已知∠FAB=120°
∠FAB=120°
是120°
那么左边的这儿这个角
那么左边的这儿这个角将是180°-120°-θ
180°减去120°等于60°
这儿的这个角是60减去θ
我这么做的原因是我们有一些信息
我们知道在这儿 我们向上经过的距离是4
我们知道在这儿 我们向上经过的距离是2
或许我们可以使用这个信息求出s
因为s是全部这些
我所构建的直角三角形的斜边 我画一下它们
这儿的这个直角三角形 我可以这样画
我可以这样画 那么这是s
这是θ 这条边长是2 这是这儿的这个直角三角形
这个直角三角形看起来像这样
它看起来像这样
这个角度是60°减去θ
这儿的这个高是4
那么我们看一下为了求s我们可以做些什么
左边的这个三角形 右边这个三角形
这个三角形告诉我们
如果我们计算sinθ
sinθ等于对边除以斜边
等于2除以s 这个三角形告诉我们正弦
记住这儿的斜边也是s
sin(60°-θ)
sin(60°-θ)等于4除以s
如果我们让彼此相等
我们可以将这个等式两边同乘以2
你可以看到2乘以sinθ等于4除以s
Sin(60°-θ)也等于4除以s
我们可以让它们彼此相等
那么我们得到2乘以sinθ
我们得到2乘以sinθ等于
sin(60°-θ)
然后我们可以使用一些三角函数恒等式
我们知道sin(a-b)
sin(a-b)等于
sina乘以cosb
在这种情况下我可以说θ
那么sin60°cosθ减去
这只是一个标准的三角函数恒等式
这里有个减号 那么和式中有个减号
减去cos60°
减去cos60°乘以sinθ
乘以sinθ 所有这些等于2sinθ
2sinθ sin60°
这是根3除以2
根3除以2
cos60°是1/2 是1/2
我们可以在等式的两端同时加上1/2
我们将得到什么
那么我们加上1/2 sinθ
然后这一项消去了
然后1/2 sinθ加上2sinθ
2sinθ也就是4/2 sinθ
那么这将等于5/2 sinθ
我加上1/2 sinθ
这是5/2 sinθ
等于根3除以2乘以cosθ
根3除以2乘以cosθ
对吧? 等式两边同时加上1/2 sinθ
等到这些东西 为了将它化简我可以在等式两边同时乘以2
那么我得到5sinθ
5sinθ等于根3乘以cosθ
现在我想使用这个恒等式
正弦的平方加上余弦的平方等于1
那么让我将两边取平方
这同时也会帮助我们消去根号
那么我们将得到25乘以sinθ的平方
等于3乘以cos θ的平方
不写成cosθ的平方
我们写成1减去sinθ的平方 对吗?
cosθ的平方等于1减去sinθ的平方
等式两边平方
那么我写下我刚刚说的
我对等式两端平方 那么我们得到25sinθ的平方
等于3减去3乘以sinθ的平方
我们可以在等式的两端同时加上3乘以sinθ的平方
我们得到28乘以sinθ方等于3
或者sinθ的平方 到了冲刺阶段了 等于3/28
或者我们甚至可以写成sinθ
sinθ等于根号(3/28)
那么它等于根号(3/28)
现在我们可以化简28 28等于4乘以7
那么我们可以把它提出来
但是现在这已经足够好了
或许随后如果我们不得不化简的话
我们将再化简它 这是很容易化简的
那么我们看一下 在这儿我们知道sinθ
现在我们可以把它和这儿的s联系起来 我们知道这些
我们在进行这些处理之前就知道它了
我们知道sinθ等于2除以s
或者s除以2等于1/sinθ
或者s等于2/sinθ
好了我们知道sinθ是多少
它等于根号(3/28)
s等于2除以sinθ
也就是乘以sinθ的倒数
那么它等于2乘以根号(3/28)
28/3 因此这就是我们求得的s
2乘以这儿的这一项
现在已知s 我们看一下我们怎样求出面积
好了 立即浮现的是
我们在这儿还有这个三角形
这个三角形的高 或者我应该说它是底边
如果我们从侧面看它 它的底边是8
它的底边是8
我们能计算出这儿的这段长度
我们可以使用勾股定理来计算
因为我们知道这儿的这段长度是4
我们知道这段长度是4
我们知道这段长度 斜边为s
我们把这儿的这条边称为三角形的高
我们可以说h的平方
h平方加上4的平方 加上16等于
斜边的平方 等于s的平方
s的平方 s等于这一项 那么如果我们想求s的平方
它等于4乘以28
4乘以28除以3
我们在等式两边同时减去16 那么h等于
4乘以28除以3再减去
如果我想写成除以3的形式
或者如果我想写成除以3的形式
将是减去48
减去48/3
我们看一下 我不想相乘
我不想计算4乘以28
那么你可以把48写成4乘以12
那么这个分子将是
4*(28-12)除以…
记住这是h的平方 我应该早说的
h的平方是
它等于4乘以16除以3
等于64除以3 这是h的平方
那么h等于根号下这一项 等于8
除以根号3
那么这儿的h是8除以根号3
那么如果我想求出这儿整个六边形的面积
首先我们求出这儿这个小三角形的面积
它等于h乘以4
它将等于
好了 我可以使用另一种方式做
但是我们说这个三角形面积等于h乘以4乘以1/2
它等于2乘以这个三角形的面积
我把它涂成蓝色 这个三角形的面积将是h
它是8除以根号3乘以4
乘以4乘以1/2
那么这就等于
2乘以8除以根号3
或者说它将等于16除以根号3
那么这儿的这个面积是16除以根号3
那么这是16除以根号3
现在我们有数个这样的三角形 我们有这个
这个 这儿的这个三角形
也有完全相同的面积
然后有这个三角形
它也有完全相同的面积
同理 同样的底边 同样的高
事实上它们是全等的
那么有四个这样的三角形
那么将要乘以4
如果你想要求得这个面积的话
我已经置为阴影的这个面积 4乘以这一项
它等于64除以
它等于64除以根号3
现在我们剩下唯一需要求的面积
是这个平行四边形的面积
中间这个平行四边形的面积
现在我们知道平行四边形的底边
平行四边形的底边是8
平行四边形的底边是8
我们仅仅需要求出它的高
我们仅仅要求出它的高
我们再一次使用勾股定理
那么我把这一条边称为 我不知道 我已经使用了h
我将再一次使用h 但是这是
你不得不记住 在这它是一个不同的高
这儿的这个底边的长度是2
2 现在很难辨别了
那么现在我们可以写
我们可以写h的平方加上4 加上2平方等于
等于s的平方
现在 我们过去已经求出s的平方是多少了
它是4乘以28除以3
4乘以28除以3
我们将两边同时减去4
我们在这儿减去4 那么减去12除以3
现在我们看一下 12和4乘以3是相等的
那么这是 这一项等于4乘以28
4*(28-3)
那么这是4*(28-3)
也等于100/3 这是h的平方
那么这个h将等于根号下这一项
等于10除以根号3
这是10除以根号3
那么这儿的这个长度是10除以根号3
这个平行四边形的面积等于
这个高乘以平行四边形的底边
那么平行四边形的面积将等于
8乘以10乘以根号3
80乘以根号3
80 噢 不 我得谨慎些
我谨慎些
这是10除以
这是10除以根号3 是这个高
那么这个平行四边形的整个面积是
8乘以10除以根号3
因此它等于80除以根号3
那么现在这个面积 如果我们将所有东西都加起来
如果我们将所有东西都加起来
我们有64除以根号3 这四个三角形的面积
加上80除以根号3 我们把它们加起来
我们有平行四边形(的面积) 80除以根号3
加上三角形部分 64除以根号3
这等于144
除以根号3
我们可以分母有理化
那么乘以根号3 除以根号3
现在的分母 我们将得到3
144除以3是
是多少 是48 对吗?
3乘以40是120
3乘以8是24
那么我们整个的六边形的面积
将等于48乘以根号3
我们得到了这种形式 48乘以根号3
那么如果我们想求m+n
它是48加上3 等于51
这是一个很麻烦的问题 为了求解这道题
我的脑子已经被榨干了
不管怎样 希望你们喜欢