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半生期的概念很有用
如果涉及到的時間增量
是半生期的倍數
比如 在時間是0的時候
物質剩余爲100%
然後時間等於一個半生期
物質剩余爲50%
如果時間等於兩個半生期
就會剩余25%的物質
以此類推
所以如果已經經過了3個半生期
比如說碳
就大約是15,000年
我可以大致告訴你
或者是幾乎準確地說
我還剩下原來元素的多少
比如碳-14(C14)
我會告訴你
初始的碳14中
沒有衰退成氮的百分比
也就是氮14
而且這很好用
但是如果我關心的是
1/2年之後剩余多少碳
或者是在1/2個半生期之後
或者是30億年之後
或者在10分鍾之後?
如果我需要一個通用函數怎麽辦
一個通用函數 時間的函數
它可以告訴我衰減物質的
數目 或者說它的總量
這就是我們這集要做的事
這會有點數學
但我覺得用到的數學非常簡單
尤其是如果你上了
大一的微積分
所以實際上這是
它的一個非常簡單的應用
我們先來看一下
變化率
或者機率
或者是某一時刻
反應的粒子的數目
那麽
在很小一段時間中
粒子數目的差量或變化
或者粒子的多少
由什麽因素決定?
這就是在給定時間段內
粒子的變化量
這就是變化率
所以一方面
我們知道變化率在變小
我們知道這是個負數
我們知道 在放射性放射衰變中
和物質積累是一樣的做法
只是我會說 哦不
這個不是負數
積累取決於我們有多少
而在這個例子中
衰減的數量是成比例的
但是它是
實際化合物的量的負值
我解釋一下
所以我說的是 看
衰減的數量和
我們現有的物質的數量
是成比例的
爲了讓它更加直觀一點點
假想一種情況
其中有1×10^9
也就是有10億個碳原子
假設這裡
有1×10^6個碳原子
如果你觀察它在
很小的一個時間段之內
比如 如果觀察在1秒鍾之內
假設是dt
dt就是一個極小的時間段
但是也可以說它是時間的變化量
它是Δt
比如說在1秒鍾內
觀察到這個樣品有...
嗯…
比如觀察到了1000個碳原子
實際上無法看到這些碳14
而這只是爲了表達更直觀一些
比如說在1秒鍾之內
這裡每秒鍾發現1000個碳原子
所以在這個樣本中能發現
1000比上10億的它的數量
所以 你在這裡觀察到的1000個
正在衰減的原子
那麽你就會在這裡發現
每秒鍾1個碳原子
因爲這裡的總數較小
現在我不知道這個常數到底是多少
但是我們知道
無論討論何種物質
這個常數都取決於物質本身
碳的和鈾的不同
也會不同於
你知道 不同於氡
它們都有
不同的常數
我們會看到的
實際上 下集會講到
你可以通過半生期算出這個
但是變化率
總是依賴於
粒子數的總數 對嘛?
我是說 我們通過半生期發現的
當粒子數是原來的1/2的時候
就失去了1/2
這裡 如果開始有100個粒子
變成50個粒子 再變成25個
如果初始是50個粒子
經過一個半生期失去25個粒子
如果初始是100個粒子 就失去50個
很明顯失去原子的數量
取決於初始原子的數量 對嘛?
在任何一小段時間中
這而是個非常小的時間段
所以這裡我建立的方程十分簡單
但是對很多人來說
聽起來並非如此
如果你說這是個微分方程的話
實際上我們可以
用很直接的方法解出它
這實際上是個隔離變量的問題
所以 我們該怎麽做?
我們兩邊同時除以
我們想把所有的N放到這邊
然後含有t的項放到另一邊
所以如果是1除以
dN除以dt等於負的λ
我只是把兩邊都除以
然後方程兩邊都乘以dt
就得到dN/N=-λdt
現在這個方程的兩側
同時積分
會得到什麽?
反導數的結果是什麽?
我在用不定積分
或者是反導數
1/N的積分是什麽?
它等於N的自然對數ln
加上某個常數――
我用藍色表示 加上某個常數
然後它等於
這個常數的積分是什麽?
它就是這個常數
乘以微分
也就是乘以
求導的對象
所以就是 -λ×t 再加上某常數
這兩個是不同的常數
但是它們是任意的
所以如果我們想
我們也可以讓它們相減
把它們放到同一側
然後就得到另一個常數
所以這就得到了我們的
微分方程的解
也就是ln N 等於 -λt
加上另一個常數
就說是C3吧 反正不重要
現在 如果我們想要把它變成
N關於t的函數
我們把兩邊
或者說等式兩邊都作e的指數
你可以把它看做是
自然對數的逆運算
那麽e^(lnN)
lnN就等於
e的多少次方等於N?
所以e的lnN次方 就得到
所以這個方程兩邊都作e的指數
方程兩邊都作e的冪
e的lnN就等於
就等於e^(-λt+C3)
現在這可以化簡成
N等於e的-λt次方
乘以e的C3次方
這又是個任意常數
所以我們可以把它改成
嗯…
就改成C4吧
所以微分方程的解是
N對t的函數 就等於常數C4…
等於C4×e^(-λt)
現在假設 甚至可以再化簡
假設t取0
那麽N(0)
我們有N0這麽多樣品
這就是初始量
看看我們能不能把它代入
方程來解出C4
所以我們說N0等於
這裡代入0
看看 就等於N0
它等於C4乘以e的
-λ… 乘以0
負的任何數的乘以0等於0
所以這就是e^0
那麽就等於1
所以C4等於N0
也就是樣本初始的量
那麽我們就得到了一個表達式
得到粒子的數目
或者t時刻的粒子數
等於初始的量
也就是時間爲0的量
乘以e^(-λt)
我們需要注意的是
在我們解不同係數的時候
一直都在用時間常量
所以這看上去很抽象
這和半生期有什麽關係?
我們試試算出
碳的方程
這對所有放射性放射衰變
都適用
如果這裡有一個加號
它也會是指數形式的
我們知道 碳
C14 它的半生期是5,700年
所以可以這樣想
如果開始時時間等於0…
所以時間等於0 t等於…
我寫下來
如果N0等於…
如果想我們可以設成100
何不?
如果N0 初始值是100
那麽在N的5,700年
所以我們設t的單位是年
就需要統一下單位
我們還剩多少?
還剩下50個
我們也可以在這兩個地方寫上X
然後再解出來
所以 我們把它代入方程
然後嘗試解出λ
所以我們知道N0等於100
所以我們馬上就知道
我們可以把這個方程寫成
N(t)等於100e
的-λt次方
至少是在這個例子中是這樣的
我們也知道N(5,700)
所以就是說 N(5,700)――
就等於 我們說過
這經過了一個半生期
所以剩下的1/2的物質
也就等於50
也就是5,700λ次方
也就等於100乘以e的
-λ×5,700次方
現在我們來解λ
然後我們就會得到
一個在任一時刻
剩下多少碳的一般方程
所以等式兩邊都除以100
得到什麽?
得到0.5 也就是1/2
等於e的――
就是-5,700λ次方
然後我們
兩邊同時取自然對數
然後就得到 往下拉一點
ln(1/2)等於
它的自然對數就是-5,700λ
爲了解出λ
你得到λ等於
這ln(1/2)
除以-5,700
我來算算看
等於什麽
所以ln0.5是它
除以-5,700
除-5,700
等於1.2×10^(-4)
等於1.2×10^(-4)
好啦 算出了λ的值
所以關於在t時刻
有多少碳14的一般方程
其中t的單位是年
N(t)就等於
初始碳的數量
乘以e^(-λt)
-λ等於-1.2×10^(-4)
乘以t年
所以如果在1/2年之後
你只需代入數據
你還需要告訴我初始數量是多少
然後我就可以告訴你
在1/2年之後還剩下多少
或者是在10億年之後
或者是很多很多年之後
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