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我已经制作了一些视频
来记录我所要教授的知识
在这个视频中
我要讲一下三角恒等式
录制这个视频是因为
我需要复习一下学过的知识
因为我要做些微积分的问题
这需要先了解三角学知识
我现在有更好的录制软件了
所以想一举两得
录制视频
也算是在脑子里重新复习一下知识
这些三角恒等式
假设大家已经了解了
因为我已经做过关于它们的视频了
并且视频中提到了一些
记忆和证明的方法
sin(a+b)等于
sina・cosb
加上sinb・cosa
这是第一个式子
假设这个式子在这段视频中是已知条件
如果我们想知道sin
我用不同形式写一下
如果我想求出sina加
这样写一下 -c 会怎样?
这个和减c是一样的 对吧?
好的
我们可以用上面这个公式
这就等于sina
乘以cos(-c)
加上sin(-c)乘以cosa
我们知道
我想还有另外一个
在这个视频中要用到的假设
cos(-c)
等于cosc
余弦函数是偶函数
大家可以
查阅余弦函数表
或者通过单位圆推导出来
正弦函数是奇函数
sin(-c)实际上等于
-sinc
我们可以利用这些信息
把第二行重写到这里
sin(a-c)等于
sina乘以cosc
因为cos(-c)等于
cosc
乘以cosc
然后 减去sinc
不这样写了 我要这样写
减去sinc乘以cosa
这样我们通过已知的这个和这个
证明了这个
有道理
我要用所有的这些
去证明更多
我需要的三角恒等式
另一个三角恒等式是
cos(a+b)等于cos a
在这种情况下
你们不要把cos和sin搞混了
cosa乘以sinb
这是负 哦 不好意思
我刚说了你们不要搞混了
然后我就混了
乘以cosb
减去sina乘以sinb
现在 如果你们想知道
cos(a-b)等于什么
就可以用同样的性质
cos(-b)
同样的 等于cosb
所以这个等于
cosa乘以cos
cos(-b)等于cosb
但是你们在这里会遇到sin(-b)
它等于-sinb
这个负号和这个负号抵消
所以就是加上sina乘以sinb
这有点难
当这边是加号 那边就是减号
当这边是减号
那边就是个加号
但是很公平
我不想在这个问题上多说
因为我们还有更多等式要讲
假如我要证明
cos2a呢?
cos2a
它其实就是
cos(a+a)
这样我们就可以使用上面这个公式
如果第二个a就是b
这样这个式子就等于
cosa・cosa减去
sina・sina
在这个题目中 b也是a
重写一下
这个等于cosa的平方
我刚写了cosa
乘以它自己
减去sina的平方
我认为已经导出这个公式了
cos2a等于
cosa的平方减去
sina的平方
我把这个视频中要展示的
公式都圈起来
我刚给你们展示了这个
我要是还不满足呢?
如果我想只用cos表示呢?
我们突然想到了三角函数在
单位圆中的定义
这是最基本的定义
sina的平方加上cosa的平方
等于1
或者你们可以写成
我来想一个最好的方法
你们可以把sina的平方写成
1减去cosa的平方
然后我们就可以用这个式子
代换这里
所以这个式子也可以写成
cosa的平方减去sina的平方
sina的平方在这里
所以减去 我换个颜色
减去(1-cosa的平方)
这就是我刚刚代替
sina的平方的式子
这个就等于cosa的平方
减1加cosa的平方
也就是 只要加起来就可以了
我写到右边
一个cosa的平方
加上另一个cosa的平方
也就是2倍cosa的平方减1
所有的这些等于cos2a
如果我想
用这个表示cosa的平方呢?
我们可以解决一下这个问题
实际上 如果把方程两边同时加1
让我写下来
这就是另一个等式
但是如果等式两边同时加上1
就能得到2倍cosa的平方等于
cos2a加1
如果等式两边同时除以2
就得到cosa的平方等于1/2
现在重新排列一下这些
乘以1加cos2a
好了
这样得到了另一个等式
cosa的平方
有时也叫做
降幂公式
如果我想要用sina的平方
来表示呢?
可能我们要回到上面这里
从这个等式我们知道
sina的平方等于
1减cosa的平方
或者可以用另外一种方法
从两边同时提出sina的平方
就能得到
我把它写到下面
如果我从两边同时提出sina的平方
就得到cosa的平方等于
1减去sina的平方
然后就又得到
上面这个公式
可以写下
我要用这个蓝色写
我们可以写cos2a等于
不是写成cosa的平方的形式
而是写成
等于1减去sina的平方
减去sina的平方
cos2a等于
我来看一下 有个负sina的平方
减去另一个sina的平方
就得到1减去2倍sina的平方
这就是另外一个等式
cos2a的另外一种表示方法
我们发现了很多
表示cos2a的方法
现在 如果想要表示sin2a的平方
可以把它加到方程的两边
开始吧 为了节省点空间
我把它写到这边
我把屏幕向下滚动一点
我把它写在这里
如果我两边同时加上
2倍sina的平方
就得到2倍sina的平方
加上cos2a等于1
从两边同时提出cos2a
就得到2倍sina的平方等于
等于1减cos2a
然后式子两边同时除以2
就得到sina的平方等于
1/2乘1减去cos2a
这样就得到了另一个公式
我认为可以把它叫做
我们的发现
这是很有趣的
对称一直是一件有趣的事情
cos平方
它们几乎相同
除了cosa平方这边是加cos2a
sina的平方这边是
减cos2a
所以我们发现了很多有趣的东西
看一下 sin2a还能化成什么形式
我选一个没用过的颜色
哦 我几乎把所有的颜色都用过了
所以如果我要把sin2a算出来
它就等于sin(a+a)
也就等于sina乘以cos
我不想用这么粗的笔画
乘以cosa加- 这是cosa
这是第二个a
实际上 你们可以用这种方式考虑
加上sin 我只是用sin(a+b)的等式
加sin第二个a 乘以
cos第一个a
我把同样的东西写了第二遍
所以这个等于2sinacosa
这个简单点
所以sin2a等于这个
这是另一个结果
我一直在鼓捣sin和cos
我觉得有点累了
我算出了解决微分问题所需要的
所有三角等式
希望这对你们来说是个不错的复习
因为对我来说这还不错
你们可以把这些东西写下来
如果可以 记住他们
但真正重要的是
意识到可以从
我们已知的最初的公式中
推倒出这些公式来
甚至这些式子 我已经给你们展示了
从基本三角函数恒等式中
推导出它们的过程