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我下面來講另一種求3×3逆方陣矩陣的方法
我更喜歡這種方法,覺得更有趣些
而且不那麽容易犯錯
但是,如果我沒記錯的話
《代數2》好像不教這個內容
這也是爲什麽我先講前面那個方法
我們先來過一遍新方法
以後的影片裏,我會解釋這個方法的道理
知其所以然是很重要的
但在線性代數裏,有那麽幾個知識點
最好先掌握怎麽操作
我認爲這是其中之一
之後我們再來講爲什麽
因爲,“怎麽操作”是個很機械的過程
只涉及一些基礎的運算
而“爲什麽”則更加深入
所以我把它留到以後來講
通常,當你掌握了“怎麽操作”時
也就有信心進行更深入的思考了
言歸正傳,我們來看原矩陣
上段影片裏的原矩陣是多少來著?
它是1, 0, 1, 0, 2, 1, 1, 1, 1
要求它的逆矩陣
我們介紹新的求逆方法,名叫:
高斯-若當消去
整個過程看起來就像是魔法一樣
以後的影片裏會有更詳細的解釋
我們先來“擴增”(augment)這個矩陣
什麽叫“擴增”(augment)?
就是給它加上些東西(這裡就是在原函數右邊寫上單位方陣)
我習慣畫一條分開線;有些人不畫,也是可以的
在分開線的另一邊,我寫上同樣大小的單位方陣
這裡是3×3矩陣,所以寫上3×3的單位方陣
即1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1
好了,接下來做什麽呢?
我會進行一係列“基本行運算”(elementary row operation)
我呆會兒再教你什麽叫做“基本行運算”
但是無論我對左邊矩陣的做什麽操作
我都要對右邊的相應行做同樣的運算
我的目標是:對左邊矩陣進行一係列的運算
當然也對右邊矩陣進行同樣的操作
使得左邊的矩陣,最終變成單位方陣
而當左邊變成單位方陣的時候
右邊的矩陣,就會變成左邊原逆方陣矩陣
當左邊變成單位方陣的時候
我們會管它叫“簡式行階梯形”(reduced row echelon form)
後面會有專門的影片來講這個
線性代數裏有很多術語和定義
但它們實際上都是很簡單的概念
先不扯遠了,我們動手計算
算完後你們就會更清楚些
至少會清楚計算過程
雖然可能還無法理解道理何在
我說過我們要進行一係列運算
所以首先,我們先要弄明白:
什麽樣的運算是合法的?
也就是“基本行運算”
合法的運算包括下面這些:
我可以拿某一行,乘上一個倍數
這是可以的
我可以交換任意兩行的位置
當然,如果我在左邊交換第一和第二行
我也必須在右邊做同樣的操作
我還可以拿某一行加上或減去另一行
比如說,我可以拿第三行,加上第二行
所以第三行的數字就變成它們的和
等下你們就明白這是什麽意思了
而且,這些運算可以組合起來
比如說,拿第二行乘以負1
然後把結果加到第三行上
你可能覺得這挺像在解一次方程組
確實如此,因爲矩陣就是一個
用來表示方程組的好方法
這一點我以後會給你們解釋
回到主題,我們來做點“基本行運算”
把左邊這個矩陣轉化成“簡式行階梯形”
其實也就是說“我們把它化成單位方陣”
我們的目標也就是:
得讓這一條對角線上全變成1
剩下的都變成0
我們來看看有沒有什麽簡便的方法
我們把新矩陣寫在下面
第一步,我要把左下角的1化成0
看起來很簡單
前兩行不變,照寫下來
1, 0, 1
然後是分開線
1, 0, 0
第二行也不做任何操作
0, 2, 1
0, 1, 0
我現在的目標,是要拿這一行
把它的第一個數字1,變成0寫在這裡
這樣一來,我們就朝單位方陣前進了一步
怎麽讓這裡得到0?
我可以這麽做:拿上面的第三行減去第一行
然後把結果寫在新的第三行的位置上
第三行減去第一行,結果是什麽?
1減去1,得0
1減去0,得1
1減去1,得0
我在左邊做了一次減法
也必須在右邊做相同的操作
也就是拿第三行減去第一行
即,0減去1,得負1
0減去0,得0
1減去0,得1
很好
接下來怎麽辦?
現在左邊的第三行,兩邊是0,中間是1
很像單位方陣裏的第二行
那何不直接交換這兩行呢?
直接交換第二行和第三行
我們把它寫下來
交換第二行和第三行
第一行不變,還是1, 0, 1
右邊的第一行也是一樣
現在我們交換第二行和第三行
所以第二行變成:0, 1, 0
右邊也同樣交換
變成:負1, 0, 1
直接交換兩行的位置就行了
所以第三行現在就變成了前面的第二行
0, 2, 1
這邊是0, 1, 0
好的
接下來又該怎麽辦?
如果第三行的這個2變成0就好了
這樣一來等於朝單位方陣前進了一大步
我怎麽才能把它變成0呢?
拿第三行減去2倍的第二行怎麽樣?
2倍的第二行,中間的數就是2
從第三行中減去它,中間就得0
就這麽辦
第一行,很幸運地,一直不用動
我們照寫下來
1, 0, 1, 1, 0, 0
第二行這回也不需要變
右邊是:負1, 0, 1
我剛才說要怎麽做來著?
我要從第三行裏減去“2倍的第二行”
就是:0,減去“2乘以0”,得0
2,減去“2乘以1”,就是0
1,減去“2乘以0”,得1
0,減去“2乘以負1”,就是0減去負2,得正2
1,減去“2乘以0”,還是等於1
0,減去“2乘以1”,得到負2
我都算對了嗎?
我來檢查下
0減去“2乘以負1”,“2乘以負1”等於負2
0減去負2,所以是正2
好的,快完成了
左邊看起來已經很像單位方陣了
或者說“簡式行階梯形”
唯一不同的是右上角的1
所以我們終於要對第一行下手了
我應該怎麽做?
我從第一行裏減去第三行怎麽樣?
因爲右上角的1減去右下角的1,就得0
我們把它寫下來
從第一行裏減去第三行
1減去0,得1
0減去0,得0
1減去1,得0
這就是我們想要的
然後是:1減去2,得負1
0減去1,得負1
0減去負2,就得到正2
其余的兩行不變
0, 1, 0, 負1, 0, 1
下面是:0, 0, 1, 2, 1, 負2
大功告成
我們對左邊的矩陣做了一係列運算
也對右邊的矩陣進行同樣的操作
左邊的變成了單位方陣,或者叫“簡式行階梯形”
所用的方法叫“高斯-若當消去”
那麽右邊的這是什麽?
它就是左邊原逆方陣矩陣
原矩陣和它相乘,就等於單元矩陣
如果原矩陣叫A的話
那麽這個就是“A逆”
就這麽簡單
你們可以看到,這只花了我上次所用時間的一半
而且計算更容易
不用求伴隨矩陣、余因子、行列式什麽的
爲了幫助你們理解,我稍微講講這個方法的原理
我對左邊這個矩陣所做的每一步操作
都可以視爲是對它做了一次矩陣乘法
比如,要從原矩陣,到下面這個矩陣
就好像說,存在某個矩陣
乘以它的效果,就等於做了這第一步的操作
而第二步操作,相當於乘上了另一個矩陣
所以實質上,我們相當於拿原矩陣
乘上一係列的矩陣,最終得到單位方陣
這一係行矩陣,叫做“消元矩陣”(elinimation matrix)
我們把它們相乘,就得到原逆方陣矩陣
這是什麽意思呢?
比如,我們有原矩陣A
從A到下面這個矩陣,相當於乘上了一個消元矩陣
要是你們覺得一頭霧水,可以完全忽略
但它也可能會有所啓發
因爲第一步操作消去了元素(3, 1)(第三行第一列)
所以我們管這一步對應的消元矩陣叫做E(3,1)
而第二步操作,相當於乘上另一個矩陣
以後的影片裏,會有更詳細的解釋
我會教你們如何構造這些消元矩陣
這裡的第二步操作,是兩行元素交換位置
我們姑且管它對應的矩陣,叫做“交換矩陣”S
乘上它,效果是交換第二行和第三行,所以寫成S(2, 3)
第三步也相當於一次乘法
我們消去了什麽?消去了第三行第二列
所以其對應的消元矩陣叫做E(3, 2)
最後一步,也相當於乘上了一個消元矩陣
消去了右上角的元素,也就是第一行第三列
所以它叫做E(1, 3)
你們現在不用搞清楚這些矩陣長什麽樣
後面我會教你們如何去構建它們
我現在只是想讓你們提前確信:
這裡的每一步操作,都可以通過“乘上一個矩陣”來完成
而我們知道,乘上這些矩陣之後
原矩陣A就變成了單位方陣I
也就是這裡
所以這幾個矩陣的乘積
如果我們把它們相乘的話
肯定就等於A的逆矩陣
這些消元、交換矩陣乘起來,肯定等於A的逆矩陣
因爲拿它們乘上A,結果等於單位方陣
那麽,這會給我們什麽結論呢?
如果這些矩陣相乘等於逆矩陣
那麽拿單位方陣乘上它們
也就是:第一步乘以E(3, 1)
第二步乘以S(2, 3)
第三步乘以E(3, 2)
如此往複
當你把這些步驟合在一起
實際上就相當於拿逆矩陣乘以單位方陣,明白嗎?
我不希望把你弄糊塗
你明白我所說的當然好,不明白也沒關係
但是,如果你著眼於大效果的話
這些步驟的效果,實際上相當於:
把這個擴增矩陣的左右兩邊都乘上逆矩陣
左邊的乘上逆矩陣,得到單位方陣
而右邊,單位方陣乘上逆矩陣,當然就得到逆矩陣
話說回來,我不想把你弄糊塗
只是希望能給你一點點解釋
以後我會用更具體的例子來解釋它的原理
目前你只要知道有這麽個簡便的方法
不用去算伴隨、余因子、子式矩陣、行列式之類的
好的,那我們下段影片再見