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某紙牌遊戲中 用到了36張不同的牌
四種花色(方片 紅心 梅花和黑桃)
每種花色的牌都是從1到9
從中選擇一副牌
一副指的是9張牌
不論玩家抽到什麽牌 都可以調換順序
很好
一共可以選出多少副9張的牌?
我們來想一下
有36張不同的牌
每種花色都有9張牌
一共有4種花色 49=36
我們只考慮這36張中的牌
我們從中挑出9張
那麽首先我們假設我手中有9個可以放牌的位置
我現在選出9張牌放到手中
那麽選第一張牌的時候
可供選擇的牌有幾張?
因爲一共有36張不同的牌 所以第一個位置 有36種選擇
這張牌占據了我手中的一個位置
現在來看第二個位置 還剩下幾張牌可供選擇?
因爲我已經選出了一張 所以只剩下35張牌
第三個位置 有34張牌供選擇 以此類推
然後有33張牌供選擇 32 31 30 29 然後是28
你或許會說一共有
副可能的牌
如果考慮到牌的排列順序的話 這個答案就對了
考慮順序的話這個答案就對了 如果這裡的牌是15
如果這裡這張牌是黑桃9
然後是其他一些牌
這是一副牌
我還要放上其他的牌
那麽還有1 2 3 4 5 6 7 8 8張牌
還有其他8張牌
另一副牌可能先是
1 2 3 4 5 6 7 8 8張牌 然後才是黑桃9
如果我們認爲這兩副牌是不同的
這些牌是相同的 但是排列順序不同
那麽我剛才得到的答案就是正確的
因爲前提是它和排序有關
但是題目告訴我們不論玩家抽到什麽牌 都可以調換順序
所以和牌的排序無關
所以我們剛才多算了
我們把相同牌的所有排列方式
都算上了
那麽爲了不重覆計算
我們必須除以
這9張卡片重新排列的方式
所以我們必須再除以這9張卡片重新排列的方式
那麽9張卡片重新排列的方式一共有幾種?
如果一共有9張牌 我要從中選取一張
放在第一個位置上 也就是說第一個位置
有9種可能
在第二個位置 有8種放法
在第二個位置
因爲我已經選擇了一張放在第一個位置
所以還剩下8張
然後是7 然後是6 5 4 3 2 1
最後一個位置 只剩下一張卡片可選
這裡的得數是 用98
或者是從9開始
乘以比9小的每個數
是每一個 我想你會說 是少於9的所有自然數
這叫做9的階乘 用歎號表示
所以如果我們想求
一共有多少副不同牌的組合
這是考慮排序影響時的得數
然後除以
9張牌排列的種數 這樣我們就不會多算
這就是正確答案
這是一個非常 非常非常大的數
我們來算一下這個數有多大
36乘以 我把它向左移動一點
除以9… 好吧 我可以這樣來做
我可以加一個括號 除以括號裏的98
希望這個計算器能夠算出來
它給出的答案是 94143280
我把它移到邊上 這樣方便我讀數
它給出的得數是94143280
這就是本題的答案
這種情況下 9張爲一副的牌一共有94143280副
我們剛剛算出來了
而且有理有據
我們可以用一個公式來計算 其實實質是一樣的
這個公式是這樣來表示的 來看一下
我們一共有36張牌 要從中抽取9張
不考慮排序影響
可以寫成從n個事件中抽取k個
我這樣來寫一下
我剛才做的是什麽?
有36個事件
有36個事件
分子是36的階乘
但是36!包括272625
以此類推
但是在距離36爲9的地方就不再往下乘了
這是36! 這一部分
這一部分不等於36!
它等於36!除以(36-9)!
36-9等於多少?
等於27
27的階乘 我們來想一下 36的階乘
等於3635 以此類推
乘以2827 以此類推直到1
這就是36!
(36-9)!也就是27!等於多少
除以27! 27!等於2726
以此類推直到1
這一部分和那一部分是相同的
這一部分是2726…… 所以這兩部分可以約掉
所以當你計算36!/(36-9)!時
你只需要計算36!的前9項
就是這些項
就是這個
然後再除以9!
然後再除以9!
有時你會看到這個公式被寫成
n選k
等於n!/(n-k)!
同樣 在分母上有一個k!
這是在n個東西中選出k個東西
的所有可能選法的一般公式
不考慮排列順序的影響
你所關心的只是選了哪k個東西
不關心選這k個東西的順序
也就是我們這裡所計算的