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在這個影片中我想討論一下
一個聯係
在三角形的面積
和它的外接圓之間
或者是外接的圓
在我們討論外接圓之前
讓我們先討論一下三角形的面積
舉例來說 如果有一個長這個樣子的三角形
我並不想讓它看起來像個等腰三角形
所以讓我改正一下
讓它看起來不像是一個特殊三角形
讓我們叫它三角形ABC
這些是它的頂點
a爲A角的對邊
同理 這裡是b 這裡是c
我們知道怎樣計算這個三角形的面積
如果我們知道了它是什麽三角形
如果我們在這裡畫它的高
並把它標爲h
那麽三角形的面積【ABC】
我們在ABC外括上了括號
來表示這是ABC的面積
等於1/2乘以底 也就是b
乘以高
顯而易見
我們現在有了一個面積的表達式
現在讓我們看看是否可以
將這些表示面積的元素
與三角形外接圓的半徑聯係起來
三角形外接圓是一個圓
經過三角形的三個頂點
每個三角形都有一個外接圓
讓我試著畫一下
這非常有挑戰性
所以外接圓看起來是這個樣子
這差不多像是一個圓了
大致是這個意思
這就是這個三角形的外接圓
或者是外接的圓
讓我來標注一下
這是三角形的外接的圓
讓我們來考慮一下這個外接圓的圓心
也稱外心
看起來外心會在
我也不知道 目測一下
會正好在b上 在這裡
所以這就是外接圓的圓心
讓我們畫一條外接圓的直徑
並且過頂點B
穿過外心
一直延伸到這裡
我們叫這一點D
讓我們造一個以A B D爲頂點的三角形
我們可以在這裡畫另一條線
形成了三角形ABD
我們在幾何中講到過
而且這個知識點並不難證明
任何一個內接於圓的三角形
如果這個三角形的一條邊
是圓的直徑
那麽這將會是一個直角三角形
並且90度的那個角
將會是直徑所對的那個角
所以這個角是直角
你可以非常直接得得到它
你在這裡有一條180度的弧
因爲它是直徑
並且它是這個圓周角的對邊
我們還證過 一個圓周角
對著一條弧
將會是弧的角度的一半
所以這條弧是180度
所以這個將會是90度角
所以這兩種證法都讓我們得到 這個角等於90度
另一個要考慮的問題
是對於這條弧
我用品紅色畫的
這條弧AB
這條弧對應了兩個不同的角
它既對應了角ACB
對應了這個角
它還對應了角ADB
這就是爲什麽我們這個畫輔助線構造圖形
它還對應了這個角
所以這兩個角是相等的
它們都將是一半的
弧的角度
因爲它們都是圓周角
對應著相同的弧
現在有意思的事情出現了
我們這裡有兩個三角形
三角形ABD和三角形BEC
它們有兩對角相等
它們有直角和這個紫色的角
所以剩下的第三個角也一定相同
我們用黃色來標注它
第三個角必定等於這個角
它們有三對相等的角
所以這兩個三角形相似
或者說對應邊的比例
一定相同
所以利用這條信息
我們關聯這條邊的長度
也就是直徑 2倍的半徑
和這個小一點的三角形的高度
我們知道它們之間的關係
在小三角形的高
和面積之間
我們現在到了解題的最後階段
讓我們著手開始吧
這兩個是相似三角形
我們知道c和直徑之間的比例
直徑的長度是多少呢?
它是2倍的半徑
這個是半徑
我們知道c和2倍半徑之間的比例
將對等於h
我們要確保我們用的是同樣的邊
和這個三角形斜邊之間的比例
等於h比上a
我們解這個的方法是
我們找到對應邊
c和斜邊
都相鄰於這個角
所以你有了h和a
所以c比上2r等於h比上a
或者可以做很多事
第一 我們可以解出h
然後通過替換h 代入一個含有面積的表達式
讓我們就這麽做
如果我們利用這個面積的表達式
我們可以在等號兩邊同時乘以2
並且同時除以b
這兩個消掉了
我們得到h等於3倍的面積比上b
我們也就可以整理這個式子 得到c/2r等於h
也就是2倍的這個三角形的面積比上b
這些全部 比上a
或者我們可以把這第二部分重寫在這裡
寫成2倍的面積比上
我們先除以b再除以a
也就是等價於除以ab
所以我們可以忽略掉中間的步驟
所以我們得到c/2r等於2乘以面積比上ab
現在我們進行交叉相乘
ab乘以c等於2r乘以2【ABC】
也就是4r乘以三角形的面積
也就是交叉相乘這個和這個
等於那個乘以那個
我們知道交叉相乘也就是
等式兩邊同時乘以2r
然後等式兩邊同時乘以ab
所以我們在左手邊進行這一操作
並且在右手邊也進行這一操作
2r和ab
很明顯這兩個消掉了 這兩個也消掉了
所以abc等於2r乘以2【ABC】
也就是4r乘以三角形的面積
現在我們進行到了最後一步
我們兩邊同時乘以4倍的面積
然後我們就解出來了
這兩個消掉 那兩個消掉
我們就得到了一個關係
半徑 或者說外心的半徑
這個三角形的外接圓的半徑
等於三角形的三邊乘積
除以4倍的三角形面積
我們這樣得到了一個非常利索的結果