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二维空间
我的名字叫做喜帕恰斯
我生活在耶稣诞生之前的第二个世纪,
我可以毫不谦虚地说,
我是地理与天文学之父。
我写了至少有14本书,
但不幸的是,它们几乎都已遗失。
我编写了星星的第一本目录,
开创了数学三角学,
甚至发明了星盘。
幸运的是,我杰出的后继者托勒密,
在三个世纪以后,
继续了我的工作。
如今,史学家们都无法确定,
究竟哪些是我的贡献,哪些是他的。
他的原稿是第一本天文学论文
他的"地理学"一书包含了,
当时第一张世界地图。
地理与几何学都涉及对地球的研究
地理学用来描绘地球,
几何学则涉及到对它的测量。
地球是近似球状的
此时我们忽略它在两极是略微扁平的,
而假设它是一个完美球体。
你知道,在一个球面上,
所有点都与它的中心点等距。
正如这个箭头,
从球心射向球面的一个动点,
它的长度总是不变的。
现在选择一条轴线:一条过球心的直线
若沿着一个过这条轴线的平面
切开球体, 切面将是一个大圆周
并将球体切分为两个半球。
若我们沿着轴线如西瓜瓣似的切割球面,
得到的就是经线的轮廓。
它们是一些半圆周,
其两端位于地球的北极和南极。
相反地,
若对着轴线平切球面,
我们将得到许多圆周,称之为纬线。
于是,球面被两簇网状曲线覆盖:
即经线和纬线。
位于正中间纬线,
是众所周知的赤道,
由于某些历史原因, 一条特殊的经线
被选为子午线
它经过英国格林威治天文台。
若要指出地球表面某一点的位置,
我们可以从赤道
与子午线相交的这点开始,
沿着赤道走一段距离
用一个红色角度来标记,称为经度;
然后,沿着经线向上走
用一个绿色角度来标记,称为纬度;
最后到达我们的目的地。
地球上的每一点都可以这两个角度
即经度和纬度来确定。
因为我们需要用两个数字
来指定地球表面上的一个位置
我们说球面是二维的。
数学家们通常称它为S2。
现在,我们允许小飞机离开地球
飞入太空。
为了指出它的位置
我们将需要三个数字
经度,纬度和...
在地球上方的高度。
由于需要三个数字
来确定在外层空间的位置,
我们说空间是三维的。
挂在墙上的画中,
有一幅托勒密的画像——地图绘制术之父。
地图是怎样绘制的呢?
一种方法是将地球投射到一个平面上。
选择一座城市,例如“Dakar”,
再画出连结北极和这座城市的直线。
这条直线穿过桌面上的另一点
称为这座城市的投影。
球面上的任何一点都可以被投射到桌面上。
我们的城市离北极越近
它在桌面上的投影就越远,
甚至可以超出桌面!
因此我们说北极没有投影。
或者说,它的投影在无穷远处。
整个地球,除北极以外,
都可以在桌面上被表示出来。
这张地图被称为 -- 球极投影。
当然,这个投影并不保持原来的尺寸
例如,与北美洲相比,
南美洲就显得非常微小。
为了更好地理解这个投影,
我们将地球像球一样地滚动,
并且总是从最高点向桌面投射。
大陆的投影在平面上舞动着,
先逐渐变大,接着变小。
但如果我们凑近一点儿看,
它们的形状并没有改变
只是长度有所变化。
因此,我们说球极投影是保形的。
经线和纬线的投影又是什么呢?
当我们从北极开始投射,
经线成为从南极发出的射线
纬线则成为一些同心圆。
当地球滚动时,可看到经线和纬线
都总是投射为圆或直线。
球极投影把画在球面上的圆
变换为画在平面上的圆。
当然除了那些
经过至高点的圆,
它们的投影变成一些直线。
我们将从底部观看同样的运动。
从这个角度,可看到经线和纬线们,
形成两簇圆。
所有经线都交汇的两点,
正是北极和南极。
你认出来了吗?
它就是格林威治子午线。
到此结束我们驶向四维空间的第一步。