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看看我們是否能對向量積做更多的練習
並對什麽是向量積培養更多直覺認識
在上個例子中 我們使用了向量a叉乘向量b
大家看看向量b叉乘向量a時得到什麽
我先擦去一些東西
我不想擦除全部 因爲這可能
對我們在做比較時有用處
我要保留這個
實際上 我想我可以擦除這個
我已經寫在這裡的是 這是向量a×向量b
我把這個分開開 所以大家不會感到困惑
當我求解a叉乘b時
我使用了右手定則
然後看到這個的模是25
還有n 方向 指向裏面
當我在這裡畫結果向量時 它指向頁面內部
大家看看向量b叉乘向量a是什麽
我只是調換了兩個向量的順序
向量b×向量a
好的 結果向量的模是相同的 對嗎?
因爲我仍然是用向量b的模乘以
向量a的模乘以兩個向量夾角的正弦值
夾角就是π/6弧度 然後乘以單位向量n
這和前面是一樣的
當我乘以純量時
相乘的順序是不影響結果的 對嗎?
所以這仍然等於25
不管單位向量是什麽 就乘以一個單位向量n吧
我們還知道向量n必須
垂直於向量a和向量b 現在我們要求出
好的 要垂直 單位向量要麽
垂直於頁面向內
要麽垂直於頁面向外 可以從頁面向外指出
哪個是正確的呢?
我們使用右手法則 再試一次
我們要做的是使用右手法則
實際上我現在在使用我的右手
盡管大家看不見
以確保我畫得是正確的
在這個例子中 如果我使用右手
我把食指指向向量b的方向
中指指向向量a的方向
所以我的中指
看起來像這樣 對嗎?
我剩下的兩個手指放這兒
那麽大拇指將指向向量積的方向 對嗎?
因爲大拇指在這裡有個直角
這是大拇指形成的直角
在這個例子中 這是向量a的方向
這是向量b的方向 我們計算向量b叉乘向量a
這就是爲什麽向量b的方向是食指方向
食指方向代表第一個向量的方向
中指方向代表第二個向量的方向
然後拇指方向代表向量積的方向
在這個例子中
向量積的方向是向上的
當我們在二維空間畫圖時
b×a向量積的方向實際上是
從頁面向外指出的
我把向量積畫出來
將用一個圓加一個點表示
如果我把它畫成像這樣
就是這樣 這是向量a叉乘向量b
向量b叉乘向量a的模是相同的
但是方向相反
這是向量b叉乘向量a
它指向相反的方向
這就是爲什麽要使用右手定則
因爲大家可能知道 哦
某個向量有指向或指出頁面兩個方向來選
等等 等等 但大家要了解你們的右手
從而知道方向是指向還是指出頁面的
總之 看看能否對這是什麽有更直覺的了解
因爲這都是有關於直覺方面的知識
坦白說 我要告訴大家
向量積在很多概念中都有涉及
坦白說對下面這些概念沒什麽現實的直觀認識
這些概念包括電子飛躍一個磁場
或者磁場通過一個線圈
我們日常生活經驗中的很多事情
如果我們是生活在磁場中的金屬屑
好的 我們的確生活於一個磁場中
在一個強磁場中
或許我們會有直覺認識
但很難讓我們對磁場有個很深的直覺認識
像這些東西 掉落的物體 摩擦力 或者力
甚至流體動力學一樣 因爲我們都接觸過水
總之 我們再獲取一些直覺認識
想想爲什麽這裡有個sinθ
爲什麽不能只是將它們的模相乘
再使用右手定則確定方向呢?
這個sinθ是關於什麽的呢?
我想我需要弄清楚這一點
這或許是有用的
爲什麽有個sinθ呢?
我重畫一下向量
把它們畫粗一點
比方說這是向量a 這是向量a 這是向量b
向量b不一定要比向量a長
這是向量a 這是向量b
現在 我們可以思考一下
可以說 這也就等於
a乘以sinθ乘以b
或者可以說 這等於b乘以sinθ乘以a
希望我沒有讓你們感到困惑
我所說的是 大家可以將此理解爲
因爲這些是模 對嗎?
它們相乘的順序是不影響結果的
可以說 這是a乘以sinθ乘以向量b的模
所有這些處於法向量的方向
大家可以換個地方寫sinθ
我們想想這代表什麽
a乘以sinθ 如果這是θ
asinθ是什麽呢?
正弦是對邊除以斜邊 對嗎?
對邊除以斜邊
這也就是向量a的模
我畫些東西
在這裡畫條線 把它畫成實線
在這裡畫條線 這裡有個直角
asinθ是什麽呢?
這是對邊
asinθ是
sinθ等於對邊除以斜邊
斜邊長是向量a的模 對嗎?
所以sinθ等於這條邊除以-
我把對邊稱爲op 除以向量a的模
所以是對邊除以向量a的模
所以這個項 asinθ實際上是
這條線的長度
另一種方法是 我重畫一下
向量從哪裏開始是毫無關係的
我們所關心的是向量的模和方向
所以大家可以移動向量
這條向量
大家可以稱之爲對邊向量
也就相當於這條向量
這條向量和這條是相同的
我移動了這條向量
另一種思考方法是
這是向量a的分量 對嗎?
我們習慣於把向量分解成x方向
和y方向的分量 但現在我們使用向量a
我們把它分解成
大家可以把它分解成
平行於向量b的分量
和垂直於向量b的分量
所以asinθ代表向量a的分向量的模
這個分向量垂直於向量b
當對這兩個量求向量積時
可以說 我不關心
這個例子中向量a的模
我關心向量a的
垂直於向量b的分量的模
這是我想要相乘的兩個數
然後對積施加一個
由右手定則確定的方向
我要給大家展示些應用例子
這非常重要 我們要在扭矩中使用向量積
在磁場中也要用到
在這兩個場合中 向量積在
求出垂直於一個力或者垂直於半徑的分向量
的問題中很有用
這就是爲什麽向量積中有sinθ
因爲我們要 在這個例子中
如果我們把它看成a乘以sinθ的模乘以b
這也就是說 這是向量a的
垂直於向量b的分量的模
或者大家可以換種理解方式
可以把它理解成a乘以b乘以sinθ 對嗎?
在這裡放個括號
大家可以按另一種方式看它
可以說 bsinθ是向量b
垂直於向量a的分向量的模
我畫一下它 以便於更好地理解
這是向量a 這是向量b
這是a 這是b
b有個分向量垂直於向量a
這看起來像
好的 沒有地方做題了
在這裡畫吧
如果這是向量a 這是向量b
垂直於向量a的向量b的分向量看起來像這樣
它將垂直於向量a
它有這麽長 對嗎?
然後大家可以回到SOH CAH TOA規則
大家可以證明一下
這個向量的模是bsinθ
這就是sinθ來源
確保一下我們並不只是將向量直接相乘
確保我們將
相互垂直的向量的分量相乘
來得到第三個向量
這個向量垂直於原來兩個向量
發明向量積的人-
說 這仍然很模糊 因爲向量積沒告訴我們
總有兩個
垂直於兩個原向量的向量
一個方向向內 一個向外
它們方向相反
這就是引入右手定則的原因
他們會說 好的 使用右手定則的慣例
像槍一樣指著
將手指相互垂直
然後就知道結果向量所指的方向
總之 希望大家都明白了
現在希望大家看下一個影片
這實際上是關於電學
磁力和扭矩的物理知識 它們實際上是
向量積的應用
這會給大家使用向量積帶來
更多的直覺認識
再見