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看看我们是否能对矢量积做更多的练习
并对什么是矢量积培养更多直觉认识
在上个例子中 我们使用了向量a叉乘向量b
大家看看向量b叉乘向量a时得到什么
我先擦去一些东西
我不想擦除全部 因为这可能
对我们在做比较时有用处
我要保留这个
实际上 我想我可以擦除这个
我已经写在这里的是 这是向量a×向量b
我把这个分隔开 所以大家不会感到困惑
当我求解a叉乘b时
我使用了右手定则
然后看到这个的模是25
还有n 方向 指向里面
当我在这里画结果矢量时 它指向页面内部
大家看看向量b叉乘向量a是什么
我只是调换了两个向量的顺序
向量b×向量a
好的 结果向量的模是相同的 对吗?
因为我仍然是用向量b的模乘以
向量a的模乘以两个向量夹角的正弦值
夹角就是π/6弧度 然后乘以单位矢量n
这和前面是一样的
当我乘以标量时
相乘的顺序是不影响结果的 对吗?
所以这仍然等于25
不管单位矢量是什么 就乘以一个单位矢量n吧
我们还知道矢量n必须
垂直于矢量a和矢量b 现在我们要求出
好的 要垂直 单位矢量要么
垂直于页面向内
要么垂直于页面向外 可以从页面向外指出
哪个是正确的呢?
我们使用右手法则 再试一次
我们要做的是使用右手法则
实际上我现在在使用我的右手
尽管大家看不见
以确保我画得是正确的
在这个例子中 如果我使用右手
我把食指指向向量b的方向
中指指向向量a的方向
所以我的中指
看起来像这样 对吗?
我剩下的两个手指放这儿
那么大拇指将指向矢量积的方向 对吗?
因为大拇指在这里有个直角
这是大拇指形成的直角
在这个例子中 这是向量a的方向
这是向量b的方向 我们计算向量b叉乘向量a
这就是为什么向量b的方向是食指方向
食指方向代表第一个向量的方向
中指方向代表第二个向量的方向
然后拇指方向代表矢量积的方向
在这个例子中
矢量积的方向是向上的
当我们在二维空间画图时
b×a矢量积的方向实际上是
从页面向外指出的
我把矢量积画出来
将用一个圆加一个点表示
如果我把它画成像这样
就是这样 这是向量a叉乘向量b
向量b叉乘向量a的模是相同的
但是方向相反
这是向量b叉乘向量a
它指向相反的方向
这就是为什么要使用右手定则
因为大家可能知道 哦
某个向量有指向或指出页面两个方向来选
等等 等等 但大家要了解你们的右手
从而知道方向是指向还是指出页面的
总之 看看能否对这是什么有更直觉的了解
因为这都是有关于直觉方面的知识
坦白说 我要告诉大家
矢量积在很多概念中都有涉及
坦白说对下面这些概念没什么现实的直观认识
这些概念包括电子飞跃一个磁场
或者磁场通过一个线圈
我们日常生活经验中的很多事情
如果我们是生活在磁场中的金属屑
好的 我们的确生活于一个磁场中
在一个强磁场中
或许我们会有直觉认识
但很难让我们对磁场有个很深的直觉认识
像这些东西 掉落的物体 摩擦力 或者力
甚至流体动力学一样 因为我们都接触过水
总之 我们再获取一些直觉认识
想想为什么这里有个sinθ
为什么不能只是将它们的模相乘
再使用右手定则确定方向呢?
这个sinθ是关于什么的呢?
我想我需要弄清楚这一点
这或许是有用的
为什么有个sinθ呢?
我重画一下向量
把它们画粗一点
比方说这是向量a 这是向量a 这是向量b
向量b不一定要比向量a长
这是向量a 这是向量b
现在 我们可以思考一下
可以说 这也就等于
a乘以sinθ乘以b
或者可以说 这等于b乘以sinθ乘以a
希望我没有让你们感到困惑
我所说的是 大家可以将此理解为-
因为这些是模 对吗?
它们相乘的顺序是不影响结果的
可以说 这是a乘以sinθ乘以向量b的模
所有这些处于法向量的方向
大家可以换个地方写sinθ
我们想想这代表什么
a乘以sinθ 如果这是θ
asinθ是什么呢?
正弦是对边除以斜边 对吗?
对边除以斜边
这也就是向量a的模
我画些东西
在这里画条线 把它画成实线
在这里画条线 这里有个直角
asinθ是什么呢?
这是对边
asinθ是
sinθ等于对边除以斜边
斜边长是向量a的模 对吗?
所以sinθ等于这条边除以-
我把对边称为op 除以向量a的模
所以是对边除以向量a的模
所以这个项 asinθ实际上是
这条线的长度
另一种方法是 我重画一下
向量从哪里开始是毫无关系的
我们所关心的是向量的模和方向
所以大家可以移动向量
这条向量
大家可以称之为对边向量
也就相当于这条向量
这条向量和这条是相同的
我移动了这条向量
另一种思考方法是
这是向量a的分量 对吗?
我们习惯于把向量分解成x方向
和y方向的分量 但现在我们使用向量a
我们把它分解成
大家可以把它分解成
平行于向量b的分量
和垂直于向量b的分量
所以asinθ代表向量a的分向量的模
这个分向量垂直于向量b
当对这两个量求矢量积时
可以说 我不关心
这个例子中矢量a的模
我关心矢量a的
垂直于矢量b的分量的模
这是我想要相乘的两个数
然后对积施加一个
由右手定则确定的方向
我要给大家展示些应用例子
这非常重要 我们要在转矩中使用矢量积
在磁场中也要用到
在这两个场合中 矢量积在
求出垂直于一个力或者垂直于半径的分向量
的问题中很有用
这就是为什么矢量积中有sinθ
因为我们要 在这个例子中
如果我们把它看成a乘以sinθ的模乘以b
这也就是说 这是向量a的
垂直于向量b的分量的模
或者大家可以换种理解方式
可以把它理解成a乘以b乘以sinθ 对吗?
在这里放个括号
大家可以按另一种方式看它
可以说 bsinθ是向量b
垂直于向量a的分向量的模
我画一下它 以便于更好地理解
这是向量a 这是向量b
这是a 这是b
b有个分向量垂直于向量a
这看起来像
好的 没有地方做题了
在这里画吧
如果这是向量a 这是向量b
垂直于向量a的向量b的分向量看起来像这样
它将垂直于向量a
它有这么长 对吗?
然后大家可以回到SOH CAH TOA规则
大家可以证明一下
这个矢量的模是bsinθ
这就是sinθ来源
确保一下我们并不只是将矢量直接相乘
确保我们将
相互垂直的向量的分量相乘
来得到第三个向量
这个向量垂直于原来两个向量
发明矢量积的人-
说 这仍然很模糊 因为矢量积没告诉我们
总有两个
垂直于两个原向量的向量
一个方向向内 一个向外
它们方向相反
这就是引入右手定则的原因
他们会说 好的 使用右手定则的惯例
像枪一样指着
将手指相互垂直
然后就知道结果矢量所指的方向
总之 希望大家都明白了
现在希望大家看下一个视频
这实际上是关于电学
磁力和扭矩的物理知识 它们实际上是
矢量积的应用
这会给大家使用矢量积带来
更多的直觉认识
再见