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現在我們來解
非齊次二階線性微分方程
常係數的哈
這是什麽意思呢?
意思就是待求的方程形如
A倍的二階導數加
B倍的一階導數 加C倍的函數
等於 g(x)
在我講解實際例子之前
我先告訴大家一個有趣的事情
非齊次方程的通解
實際上就是
齊次方程的通解加上一個特解
我先解釋一下這是什麽意思
比如說 h 是
齊次方程的解
這很好求 齊次方程嘛
h 是齊次方程的解
齊次這個詞兒得有個縮寫才行
那是什麽意思呢?
意思就是
說A h'' + B h' + C h = 0
這就是我說h是解的意思
我們說 h是通解吧
齊次方程的通解
我們都會解
求解特征方程
考慮它有幾個根
是實根還是複數根
就能求出通解
並且如果你有初值條件
你可以代入初值
求出常數的值
妥妥的
現在我們說 g是一個解
噢不 g已經用過了
額 我不喜歡用元音哈
就用 j 吧
我們說 j是微分方程的
一個特解
那是什麽意思呢?
意思就是說 A j'' + B j' + ...
... + C j 等於g(x)
對吧?
我們定義 j(x) 是一個特解
現在我要說明 j(x) + h(x)
應該是原方程的
一個解
事實上它是
非齊次方程的通解
在我做嚴格的數學證明之前
先說明一下直觀的想法
嗯 如果你在這兒代入h 得0
當你代入j的時候 又得到 g(x)
把它們加起來
得到0 + g(x)
也就是 g(x)
現在我們來證明
現在我要代入 h + j
換個顏色先
A倍的兩個函數之和的二階導數
應該等於
兩個函數的二階導數之和
加上 B倍的兩函數之和的一階導數
加上 C倍的兩函數之和
我的目標是證明它等於 g(x)
這個可以化簡成什麽呢?
如果我們拿出所有 h 項
我們得到 A h'' + B h' + C h 加上
現在來算 j 項
爲A j'' + B j' + C j
根據 h 和 j 的定義
這個等於什麽呢?
我們說 h是
齊次方程的通解
也就是說這個表達式等於 0
所以它等於 0
由j的定義 這個等於什麽?
我們說 j是
非齊次方程的特解
也就是說 這個表達式等於g(x)
所以你把h+j代入
微分方程的左邊
那麽右邊果然就得到了 g(x)
我們證明了 如此定義的h和j
設爲一個函數
我們設 k(x) = h(x) + j(x)
我沒地方寫了
k 就是通解
我沒有證明它就是方程的所有解
不過大家在直觀上是這麽想的吧
因爲齊次方程的通解
是方程的所有解
現在我們加上一個特解
在方程的右邊得到 g(x)
這可能搞得大家很迷惑
我們試著做一些實參數的例子
這樣應該會容易解釋很多
現在我們有微分方程...
額我準備講解
求解j的方法 在最後一個例子裏會講到
如何求特解呢?
我們有微分方程
即y''-3y' ...
... - 4y 等於3e^(2x)
第一步 我們要求出
齊次方程的通解
我們剛剛那個例子裏
是h(x) 是吧?
所以我們要解方程
即y''-3y'-4y = 0
寫出特征方程
... + 4 等於0
即 (r - 4)(r + 1) = 0
方程有兩根r 4或-1
那麽我們的通解是 我用h表示
記爲 y通解 吧
寫成yg
所以我們的通解等於
這個我們做過很多遍了
是c1 e^(4x) + c2 e^(-x)
好了
我們解出了齊次方程
現在我們怎麽解出 額 前面的例子所說的
那個j(x)給出方程的一個特解
從而得到右手邊的式子
這裡我們需要思考一下
這個方法稱作
未定係數法
我們必須有 額
如果我要得到某一函數
我對它求二階導
然後加減幾倍的
一階導數
再減去幾倍的原函數 得到e^(2x)
那麽這個函數和它的導數
和二階導數需要有
這樣的形式
即e^(2x) 的若干倍
基本的思路就是我們來猜猜看
我們說 嗯 這個函數應該長什麽樣
當我們取它和各種導數
然後加減乘什麽的
各種運算
最後能得到e^(2x)
或者e^(2x)的若干倍
一個不錯的猜測是 j
我稱之爲 y特解
我們這裡的特解應爲...
我在這裡提到的
所謂特解不同於
初值問題中的特解
這裡我們視一個解爲特解
是說這個解能得出方程右邊的表達式
比如說 我選擇的特解是
某常數A倍的e^(2x)
這是我的猜測 它的導數
爲2A e^(2x)
通解的二階導數
等於 4A e^(2x)
現在我把它代入這裡
看看能不能解出 A
然後我們求出特解
所以它的二階導數等於這個
我得到 4A e^(2x) ...
-3倍的一階導數
也就是 -3倍的這個東西
那就是 -6Ae^(2x)
減 4倍的原函數
即4Ae^(2x) 這些加起來
等於 3e^(2x)
我們知道 e^(2x)不爲零
兩邊除以它
其實就是提公因式
扔掉所有的 e^(2x)
左邊我們得到 4A-4A
消掉了
噔噔噔噔 得6A = 3
兩邊除以 6 得到 A = -1/2
完事
我們求出了特解
特解爲 -1/2e^(2x)
現在
就像我清屏之前算的那樣
我們的非齊次方程的通解
就等於我們的特解
加上齊次方程的通解
我們叫它“通通解”好麽?
我也不知道
我就稱它爲y吧
它等於通解 c1 e^(4x) + c2 e^(-x)...
加上剛才求出的特解
即 -1/2e^(2x)
很酷吧
我們還有更多的例子
我想大家已經掌握基本要領了
接下來的例子裏 我們會解些別的東西
不再是e^(2x) 或指數型函數
我們來試試多項式啊
三角函數什麽的
下個影片見