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现在我们来解
非齐次二阶线性微分方程
常系数的哈
这是什么意思呢?
意思就是待求的方程形如
A倍的二阶导数加
B倍的一阶导数 加C倍的函数
等于 g(x)
在我讲解实际例子之前
我先告诉大家一个有趣的事情
非齐次方程的通解
实际上就是
齐次方程的通解加上一个特解
我先解释一下这是什么意思
比如说 h 是
齐次方程的解
这很好求 齐次方程嘛
h 是齐次方程的解
齐次这个词儿得有个缩写才行
那是什么意思呢?
意思就是
说A h'' + B h' + C h = 0
这就是我说h是解的意思
我们说 h是通解吧
齐次方程的通解
我们都会解
求解特征方程
考虑它有几个根
是实根还是复根
就能求出通解
并且如果你有初值条件
你可以代入初值
求出常数的值
妥妥的
现在我们说 g是一个解
噢不 g已经用过了
额 我不喜欢用元音哈
就用 j 吧
我们说 j是微分方程的
一个特解
那是什么意思呢?
意思就是说 A j'' + B j' + ...
... + C j 等于g(x)
对吧?
我们定义 j(x) 是一个特解
现在我要说明 j(x) + h(x)
应该是原方程的
一个解
事实上它是
非齐次方程的通解
在我做严格的数学证明之前
先说明一下直观的想法
嗯 如果你在这儿代入h 得0
当你代入j的时候 又得到 g(x)
把它们加起来
得到0 + g(x)
也就是 g(x)
现在我们来证明
现在我要代入 h + j
换个颜色先
A倍的两个函数之和的二阶导数
应该等于
两个函数的二阶导数之和
加上 B倍的两函数之和的一阶导数
加上 C倍的两函数之和
我的目标是证明它等于 g(x)
这个可以化简成什么呢?
如果我们拿出所有 h 项
我们得到 A h'' + B h' + C h 加上
现在来算 j 项
为A j'' + B j' + C j
根据 h 和 j 的定义
这个等于什么呢?
我们说 h是
齐次方程的通解
也就是说这个表达式等于 0
所以它等于 0
由j的定义 这个等于什么?
我们说 j是
非齐次方程的特解
也就是说 这个表达式等于g(x)
所以你把h+j代入
微分方程的左边
那么右边果然就得到了 g(x)
我们证明了 如此定义的h和j
设为一个函数
我们设 k(x) = h(x) + j(x)
我没地方写了
k 就是通解
我没有证明它就是方程的所有解
不过大家在直观上是这么想的吧
因为齐次方程的通解
是方程的所有解
现在我们加上一个特解
在方程的右边得到 g(x)
这可能搞得大家很迷惑
我们试着做一些实参数的例子
这样应该会容易解释很多
现在我们有微分方程...
额我准备讲解
求解j的方法 在最后一个例子里会讲到
如何求特解呢?
我们有微分方程
即y''-3y' ...
... - 4y 等于3e^(2x)
第一步 我们要求出
齐次方程的通解
我们刚刚那个例子里
是h(x) 是吧?
所以我们要解方程
即y''-3y'-4y = 0
写出特征方程
... + 4 等于0
即 (r - 4)(r + 1) = 0
方程有两根r 4或-1
那么我们的通解是 我用h表示
记为 y通解 吧
写成yg
所以我们的通解等于
这个我们做过很多遍了
是c1 e^(4x) + c2 e^(-x)
好了
我们解出了齐次方程
现在我们怎么解出 额 前面的例子所说的
那个j(x)给出方程的一个特解
从而得到右手边的式子
这里我们需要思考一下
这个方法称作
待定系数法
我们必须有 额
如果我要得到某一函数
我对它求二阶导
然后加减几倍的
一阶导数
再减去几倍的原函数 得到e^(2x)
那么这个函数和它的导数
和二阶导数需要有
这样的形式
即e^(2x) 的若干倍
基本的思路就是我们来猜猜看
我们说 嗯 这个函数应该长什么样
当我们取它和各种导数
然后加减乘什么的
各种运算
最后能得到e^(2x)
或者e^(2x)的若干倍
一个不错的猜测是 j
我称之为 y特解
我们这里的特解应为...
我在这里提到的
所谓特解不同于
初值问题中的特解
这里我们视一个解为特解
是说这个解能得出方程右边的表达式
比如说 我选择的特解是
某常数A倍的e^(2x)
这是我的猜测 它的导数
为2A e^(2x)
通解的二阶导数
等于 4A e^(2x)
现在我把它代入这里
看看能不能解出 A
然后我们求出特解
所以它的二阶导数等于这个
我得到 4A e^(2x) ...
-3倍的一阶导数
也就是 -3倍的这个东西
那就是 -6Ae^(2x)
减 4倍的原函数
即4Ae^(2x) 这些加起来
等于 3e^(2x)
我们知道 e^(2x)不为零
两边除以它
其实就是提公因式
扔掉所有的 e^(2x)
左边我们得到 4A-4A
消掉了
噔噔噔噔 得6A = 3
两边除以 6 得到 A = -1/2
完事
我们求出了特解
特解为 -1/2e^(2x)
现在
就像我清屏之前算的那样
我们的非齐次方程的通解
就等于我们的特解
加上齐次方程的通解
我们叫它“通通解”好么?
我也不知道
我就称它为y吧
它等于通解 c1 e^(4x) + c2 e^(-x)...
加上刚才求出的特解
即 -1/2e^(2x)
很酷吧
我们还有更多的例子
我想大家已经掌握基本要领了
接下来的例子里 我们会解些别的东西
不再是e^(2x) 或指数型函数
我们来试试多项式啊
三角函数什么的
下个视频见