Tip:
Highlight text to annotate it
X
在本集影片裏我想要講的是――
可能也是接下來幾個影片裏要講的內容――
是整合所有已經學過的關於矩陣
還有零核空間 列空間
和線性獨立的內容
那麽我有矩陣 記爲A
我想一個好的起始點是
我先寫出它的列空間和零核空間
列空間更容易寫出來
就是A的行向量張成的空間
我們可以以寫出
矩陣A的列空間開始――
我在這裡寫吧
我可以寫成矩陣A的列空間等於
向量[1;2;3]
和[1;1;4]
和[1;4;1]
還有[1;3;2]張成的空間
這就寫完了
這很直觀
比找出零核空間簡單多了
現在這個可能也可能沒有使你們滿足
還有許多沒有解決的問題
這是這個空間的基嗎? 比如說
這是一個線性獨立的向量集合嗎?
我們怎麽來看待這個空間?
我沒有回答這些問題
但如果你問
嘿 A的列空間是什麽?
這就是A的列空間
然後我們就可以解答一些其它問題
如果這是線性獨立的向量集合
那麽這些向量就是一組
A的列空間的基
我們還不知道這一點
我們不知道是否這些是線性獨立的
但我們可以算出它們是不是線性獨立的
只需看A的零核空間就行了
記住這些是線性獨立的
如果A的零核空間只包含0向量的話
所以我們需要算A的零核空間是什麽
記住 我們可以在這裡走一條捷徑
A的零核空間等於行
A的行簡化階梯形的零核空間
當第一次學習計算
向量的零核空間的時候我就已經講過了
因爲當你這樣做的時候――其實
如果你想要解出來A的零核空間
你就是在算增廣矩陣
你就是在把增廣矩陣化爲
行簡化階梯形 但其中的0不變
所以其實你就是在將A化成
行簡化階梯形
我們來算吧
那麽我要保持第一行不變 1 1 1 1
然後將第二行換成
第二行減去第一行
我就得到了什麽?
不 實際上我要將它消去
那麽是第二行減去2乘以第一行
實際上更好
因爲我最後要得到1
所以2乘以第一行 再減去第二行
就是說2乘以第一行
再減去第二行
而21-2=0
這就是我想要的結果
即21-1=1
這個結果很好
還有21-4=-2
還有21-3=-1
好了
現在我來看看是否我可以把這個化成零
我能做什麽?
我可以任意組合
任何可以把它化成零的組合
但我要消去負數
我來取第三行
減去3乘以第一行
我要取-3乘以第一行
然後將它與第三行相加
所以3減去3乘以1是0
這就是一串3了
所以4-31=1
而1-31=-2
而2-31=-1
現在如果 要把它化成行簡化階梯形
我們就要瞄準這個和這個
我們要怎麽做?
我們保持只見這一行不變
中間這一行不變
還是1 1 -2 -1
要消去上面的這個我只需將
第一行替換爲第一行減去第二行
因爲這個不變
我就會得到1-0=1
還有1-1=0
這就是我想要的
而1-(-2)=3
就是1+2
而1-(-1)
就是1+1
就是2
好了?
現在我再算第三行
我再把第三行換成第三行減去
第一行
很顯然這是一樣的
所以如果我將第三行與第二行相減
就得到一串0
而0-0=0
還有1-1=0
而-2-(-2)=0
而-1-(-1)
就是-1+1
等於0
就像這樣 我們將它
化成了行簡化階梯形
這就是A的行簡化階梯形
這很簡單
現在我們做
這道習題的緣由就是我們要算出
A的零核空間
我們已經知道了A的零核空間等於
矩陣A的行簡化階梯形的零核空間
所以如果這個是A的行簡化階梯形
我們就可以算出它的零核空間
所以零核空間就是所有在R^4中的向量
因爲這裡有四列
有1 2 3 4
零核空間就是所有這樣的向量的集合
滿足這個方程 我們就有
三個0
這是R3中的0向量
因爲我們這裡有3行
所以你就可以算出它來
這個乘以這個等於這個0
這個與這個的點積就
等於這個0
這個與這個的點積就等於這個0
我沒有定義
行向量與行向量的點積
我只定義了行向量與
其它行向量的點積
但我們已經在之前的影片裏講過這個了
這裡你可以說
這是行向量的轉置
我們就這樣來看
並寫成這樣的方程組
就得到1乘以x1
這個乘以這個就等於這個0
所以1乘以x1 就是x1
加上0乘以x2
我來寫下來
加上3乘以x3
加上2乘以x4等於這個0
然後――我用黃色――
就是0乘以x1
加上1乘以x2
減去2乘以x3
減去x4等於0
但這個沒有用
因爲0乘以所有這些都是0
所以就是0=0
我們來看看是否我們可以解出軸元素
或主變量
這裡軸元是什麽?
這是軸元
這也是軸元
這就是行簡化階梯形的內容
得到這些軸元是1 並且它們是唯一的
在它們所在列中的非零項
每個軸元都是在
上一個軸元的右邊
那麽沒有軸元的行向量呢?
這些行向量就是自由變量
所以這個行向量沒有軸元
所以當你取點積時 這一列
變成了方程組中的這一列
我們知道x3是自由變量
即x3是自由的
我們可以讓它等於任何東西
同樣地 x4也是一個自由變量
而x1和x2是主變量
因爲它們對應的列
在行簡化階梯形中
有軸元
好了
我們來看看
是否可以將這個簡化成已知的形式
我們以前已經看過了
那麽如果我解出x1――這個0我可以不看
這個0我可以不看――
我可以說x1=-3x3-2x4
我僅僅是從方程兩邊消去這兩個
我可以說x2=2x3+x4
如果我們現在想要寫出解集
如果我要找到A的零核空間
這個和
A的行簡化階梯形的零核空間相同
等於所有這樣的向量――我換一種新顏色
或許用藍色吧――
等於所有這樣的向量x1 x2
還有x3 x4 等於――
那麽它們等於什麽?
x1等於-3x3-2x4
爲了使問題更清楚些 這些是自由變量
因爲我可以讓它們等於任何東西
而這些是主變量
因爲我不能讓它們等於所有的東西
當我決定了x3與x4等於了什麽
它們就決定了x1與x2等於什麽
所以這些是主變量
這些是自由變量
我可以使它爲pi
可以使它爲-2
我們可以使它們等於任何東西
所以x1等於――我們來看看
我們這樣來寫――
它們等於x3――
我用另一種顏色――
這樣來寫x3
那麽它等於x3乘以某個向量
加上x4乘以某個其它向量
所以零核空間的任何解集就是
這兩個向量的線性組合
我們可以僅從
這兩個限制條件來算出這兩個向量
那麽――我用柔和一點兒的顏色來算――x1等於
即-3x3-2乘以x4
很簡單
還有x2=2x3+x4
那x3等於多少?
好 x3等於它本身
不管我們令x3等於多少 它就是x3
所以x3等於1x3+0x4
它裏面沒有x4
x3是一個獨立變量
它是自由的
我們可以令它等於任何東西
我們令它等於x3
在我們的解集中
而x4中也沒有x3
就是1乘以x4
所以我們的零核空間就是
所有這兩個向量的線性組合
這個可以是任何實數
這是任何實數
而x4就是在實空間裏
所以所有這些
Ax的所有解所組成的集合
等於――我寫哪裏呢
我寫過嗎?
沒有 我沒寫過
所有的使得Ax=0組成的集合 這是x
它等於所有的這些向量
和這個向量的線性組合
我們知道所有的線性組合是什麽
就是零核空間等於
這兩個向量張成的空間 即[-3;2;1;0]
和[-2;1;0;1]張成的空間
現在我來問一個問題
在A中的行向量
它們是線性獨立的嗎?
它們是線性獨立的集合嗎?
我們在這裡寫的這些向量
它們就是A的行向量
我寫下來
那麽A的行向量――它們是什麽?
我們來看看
是[1;3;2]
不 是[1;2;3]
還有[1;1;4]
還有[1;4;1]
還有[1;3;2]
所以這是A的行向量
我將A寫成這些行向量
但我的問題是
這是線性獨立的集合嗎?
你可能馬上開始考慮這個問題了
好吧 當我們說某個東西
是線性獨立的――線性獨立
它意味著只有一個解――
我們在前兩個影片裏看過了
只有一個解――
Ax=0的一個解是0
這就是0解
即x=0
或許解釋這個的另一種方法是
A的零核空間等於0向量
這就是線性獨立的含義
兩種方法都可以
如果零核空間就是0
那麽它就是線性獨立的
如果零核空間包含其它向量
那麽就不是線性獨立的
現在A的零核空間 它包含什麽?
它僅含有0向量嗎?
好吧 不 它包含
所有這些向量的線性組合
事實上它包含無窮個向量
不僅僅有一個解
明顯地0向量在這裡
如果你乘以這兩個――
如果取這個和這個是0
它就包含在這裡 但你可以得到所有向量的集合
所有因爲A的零核空間 零核空間 對不起
A的零核空間不僅僅包含0向量
它包含0向量之外的東西
這意味著什麽?
這意味著
它不僅只有這一個解
這就意味著這是線性相關的集合
這意味著什麽?
在這集影片開始我問過
矩陣A的列空間是什麽
我們知道A的列空間就是
行向量張成的空間
我就像這樣寫出來了
我說過
這是否是A的零核空間的一組基不一定
基是什麽?
基是張成次空間的向量的集合
它們還是線性獨立的
我們剛剛說明了這些向量
不是線性獨立的
這就意味著
它們不是A的列空間的一組基
它們張成了A的列空間 由定義
但它們不是基
它們需要是線性獨立的
才能是基
那麽我們來看看是否可以算出
列空間的基是什麽
要算出來我們就要消去
某些多於的向量
如果我可以說明這個向量可以被
由其它兩個向量的線性組合表示出來
我就可以消去這個向量
它沒有提供任何新信息
這個也一樣
誰知道呢?
來看看是否可以
算出這個問題
我們已經知道了x1 我這樣來寫
即x1乘以――
或許我應該停下來
下一個影片再繼續講
但我們知道x1乘以[1;2;3]
加上x2乘以[1;1;4]
加上x3乘以[1;4;1]
加上x4乘以[1;3;2]
我們知道這個等於0
現在如果能解出x4關於――
如果可以解出這些向量
關於自變量的形式
用其它向量
我來看看是否能算出來
你可以看出來這很簡單
那麽就說 我要解出x4
那麽如果我從方程兩邊消去了這個
得到了什麽?
我這樣來寫 令x3=0
這是一個自由變量
我可以這樣做
所以如果我令x3=0 那得到了什麽?
如果我說x3=0 這就消失了
而如果我從方程兩邊消去這個
就得到x1乘以[1;2;3]
加上x2乘以[1;1;4]
等於――我令x3等於0
這是自由變量
所以我令x3=0
所以這整個都消失了
這等於-x4乘以[1;3;2]
現在我令x3等於0
我令x4=-1
如果x4等於-1 那-x4呢?
好吧 那這個就等於1
就得到x1乘以[1;2;3]
加上x2乘以[1;1;4]
等於這裡的第四個向量
我能總是找到這樣的東西嗎?
確實我可以找到這種特殊的向量
如果x3=0 x4=-1――
我複製粘貼一下這個上面的――
我再往下滾動一點兒
這是我們算零核空間時得到的
這裡的這個
所以如果我令――
記住這些是自由變量――
如果令x3=0 x4=-1
那x1是多少?
那麽這就意味著
即x1=-3x3
這是0 減去2x4
如果x4=-1 就是-2(-1)
那麽x1=2
然後x2等於多少?
則x2等於2x3 就是0 加上x4
等於-1
所以我就證明了 如果我令這個等於2
這就等於-1
我就有一個這個向量
和這個向量直到加到第四個向量的線性組合
你可以證明這個
即21-1=1
還有22-1=3
還有23=6 再減去4是2
這就驗算完了
所以我僅僅教會了你如何用 我們的定義
理解自由變量
和主變量
我們可以說明
解出第三個向量很簡單
還有第四個向量 關於前兩個的
我們知道
如果我們回到這個集合 第四個向量
不是必須的 沒有對
向量集合張成的空間增加任何東西
因爲這個可以被寫成
這個和這個的線性組合
現在我們來看看是否這個東西 第三個向量
我們做一下相同的練習
這也是由自由變量得出的
來看看是否可以將它寫成
這兩個向量的線性組合
好吧 我們來做一下相同的工作
不取x3=0
也不取x4=-1
我們令x4=0
因爲我要消去這個
我令x3=-1
如果x3=-1
這個方程簡化成什麽?
我們得到x1乘以[1;2;3]
加上x2乘以[1;1;4]
等於――如果這個是-1乘以[1;4;1]
然後我們在方程兩邊加上它
就是加上1乘以[1;4;1]
再一次地 我們可以解出x1和x2
如果x4=0而x3=-1 則x1x4=0
所以x3是-3 乘以x3
那麽x1=3 對吧?
是-3乘以-1
那x2等於多少?
因爲x4=0 我們可以忽略它
而x2=-2
所以等於3 然後這個是-2
我們看對不對
這裡31-2=1
而32-2=4
而33-8=1
驗算成立
所以我能寫成這個向量
結合自由變量
作爲這兩個向量的線性組合
所以可以從集合裏消去它
所以現在我就證明了
這個可以被寫成
這兩個的線性組合
這個可以被寫成
這兩個的線性組合
所以這些向量張成的空間等於
張成的空間――我寫下來
矩陣A的列空間 我可以重新寫成這樣
在它是所有這些向量張成的空間之前
它是所以行向量張成的空間
即v1 v2 v3和v4
現在我僅僅證明了v3和v4
可以被寫成v1和v2的線性組合
所以它們是多余的
這就等於v1和v2張成的空間
就是這兩個向量
向量[1;2;3]和向量[1;1;4]
現在這兩個中有多余的嗎?
我可以將它們中的一個寫成
另一個的線性組合嗎?
其實當我討論
一個向量的線性組合時
就是它乘以純量
我們來看看
你有許多方法可以看出來
但最簡單的方法是看
從這一項到這一項
我僅僅乘以了1
但如果我將這整個向量乘以1
這裡就應該是2
這裡就應該是3
所以不是
如果我要將這個表示成
這個乘以純量
那麽任何純量乘以[1;2;3]
都等於[1c;2c;3c]
對吧?
所以這個東西必須被表示成
像這樣的東西
如果我們說這個是個純量
以某種方式可以被這個東西表示出來
那麽這就是[1;1;4]
當你看上面這個元素時
這意味著c=1
但當你看第二個元素時
你會想c=1/2
所以矛盾
在這裡c=4/3
所以沒有能使這個式子成立的c
沒有c
你可以用這兩種方法
所以不能
將這些東西表示成
其它東西的線性組合
你可以用其它方法證明
或許更正式地 這是線性獨立的
但給定這是線性獨立的
我想你對這個很滿足――
我們可以說向量[1;2;3]
和向量[1;1;4]的集合是A的列空間的基
現在我要讓結束這集影片了
因爲我想我有點兒超時了
但在下幾集影片裏我要做的就是
我已經說明的
這是A的零核空間的基
我們可以理解這個
因爲我們可以說A的列空間
等於這兩個向量張成的空間
我們可以考慮
這兩個向量張成的空間是什麽
我們將要看到它是R3中的平面
和[1;1;4]張成的空間
而這是一個快速記憶 我已經說過很多次了
當我說它是基時
我的意思是 說這些東西
它們都張成了A的列空間
當我有四個向量時
它們也張成了A的列空間
但使它們成爲基的
是因爲這些向量是線性獨立的
沒有額外的信息
或多余的可以被
其它向量表示出來的向量
它們是線性獨立的
好吧 下課啦