Tip:
Highlight text to annotate it
X
在本集视频里我想要讲的是――
可能也是接下来几个视频里要讲的内容――
是整合所有已经学过的关于矩阵
还有零空间 列空间
和线性无关的内容
那么我有矩阵 记为A
我想一个好的起始点是
我先写出它的列空间和零空间
列空间更容易写出来
就是A的列向量张成的空间
我们可以以写出
矩阵A的列空间开始――
我在这里写吧
我可以写成矩阵A的列空间等于
向量[1;2;3]
和[1;1;4]
和[1;4;1]
还有[1;3;2]张成的空间
这就写完了
这很直观
比找出零空间简单多了
现在这个可能也可能没有使你们满足
还有许多没有解决的问题
这是这个空间的基吗? 比如说
这是一个线性无关的向量集合吗?
我们怎么来看待这个空间?
我没有回答这些问题
但如果你问
嘿 A的列空间是什么?
这就是A的列空间
然后我们就可以解答一些其它问题
如果这是线性无关的向量集合
那么这些向量就是一组
A的列空间的基
我们还不知道这一点
我们不知道是否这些是线性无关的
但我们可以算出它们是不是线性无关的
只需看A的零空间就行了
记住这些是线性无关的
如果A的零空间只包含0向量的话
所以我们需要算A的零空间是什么
记住 我们可以在这里走一条捷径
A的零空间等于行
A的行简化阶梯形的零空间
当第一次学习计算
向量的零空间的时候我就已经讲过了
因为当你这样做的时候――其实
如果你想要解出来A的零空间
你就是在算增广矩阵
你就是在把增广矩阵化为
行简化阶梯形 但其中的0不变
所以其实你就是在将A化成
行简化阶梯形
我们来算吧
那么我要保持第一行不变 1 1 1 1
然后将第二行换成
第二行减去第一行
我就得到了什么?
不 实际上我要将它消去
那么是第二行减去2乘以第一行
实际上更好
因为我最后要得到1
所以2乘以第一行 再减去第二行
就是说2乘以第一行
再减去第二行
而2*1-2=0
这就是我想要的结果
即2*1-1=1
这个结果很好
还有2*1-4=-2
还有2*1-3=-1
好了
现在我来看看是否我可以把这个化成零
我能做什么?
我可以任意组合
任何可以把它化成零的组合
但我要消去负数
我来取第三行
减去3乘以第一行
我要取-3乘以第一行
然后将它与第三行相加
所以3减去3乘以1是0
这就是一串3了
所以4-3*1=1
而1-3*1=-2
而2-3*1=-1
现在如果 要把它化成行简化阶梯形
我们就要瞄准这个和这个
我们要怎么做?
我们保持只见这一行不变
中间这一行不变
还是1 1 -2 -1
要消去上面的这个我只需将
第一行替换为第一行减去第二行
因为这个不变
我就会得到1-0=1
还有1-1=0
这就是我想要的
而1-(-2)=3
就是1+2
而1-(-1)
就是1+1
就是2
好了?
现在我再算第三行
我再把第三行换成第三行减去
第一行
很显然这是一样的
所以如果我将第三行与第二行相减
就得到一串0
而0-0=0
还有1-1=0
而-2-(-2)=0
而-1-(-1)
就是-1+1
等于0
就像这样 我们将它
化成了行简化阶梯形
这就是A的行简化阶梯形
这很简单
现在我们做
这道习题的缘由就是我们要算出
A的零空间
我们已经知道了A的零空间等于
矩阵A的行简化阶梯形的零空间
所以如果这个是A的行简化阶梯形
我们就可以算出它的零空间
所以零空间就是所有在R^4中的向量
因为这里有四列
有1 2 3 4
零空间就是所有这样的向量的集合
满足这个方程 我们就有
三个0
这是R3中的0向量
因为我们这里有3行
所以你就可以算出它来
这个乘以这个等于这个0
这个与这个的点积就
等于这个0
这个与这个的点积就等于这个0
我没有定义
行向量与列向量的点积
我只定义了列向量与
其它列向量的点积
但我们已经在之前的视频里讲过这个了
这里你可以说
这是列向量的转置
我们就这样来看
并写成这样的方程组
就得到1乘以x1
这个乘以这个就等于这个0
所以1乘以x1 就是x1
加上0乘以x2
我来写下来
加上3乘以x3
加上2乘以x4等于这个0
然后――我用黄色――
就是0乘以x1
加上1乘以x2
减去2乘以x3
减去x4等于0
但这个没有用
因为0乘以所有这些都是0
所以就是0=0
我们来看看是否我们可以解出主元素
或主变量
这里主元是什么?
这是主元
这也是主元
这就是行简化阶梯形的内容
得到这些主元是1 并且它们是唯一的
在它们所在列中的非零项
每个主元都是在
上一个主元的右边
那么没有主元的列向量呢?
这些列向量就是自由变量
所以这个列向量没有主元
所以当你取点积时 这一列
变成了方程组中的这一列
我们知道x3是自由变量
即x3是自由的
我们可以让它等于任何东西
同样地 x4也是一个自由变量
而x1和x2是主变量
因为它们对应的列
在行简化阶梯形中
有主元
好了
我们来看看
是否可以将这个简化成已知的形式
我们以前已经看过了
那么如果我解出x1――这个0我可以不看
这个0我可以不看――
我可以说x1=-3x3-2x4
我仅仅是从方程两边消去这两个
我可以说x2=2x3+x4
如果我们现在想要写出解集
如果我要找到A的零空间
这个和
A的行简化阶梯形的零空间相同
等于所有这样的向量――我换一种新颜色
或许用蓝色吧――
等于所有这样的向量x1 x2
还有x3 x4 等于――
那么它们等于什么?
x1等于-3x3-2x4
为了使问题更清楚些 这些是自由变量
因为我可以让它们等于任何东西
而这些是主变量
因为我不能让它们等于所有的东西
当我决定了x3与x4等于了什么
它们就决定了x1与x2等于什么
所以这些是主变量
这些是自由变量
我可以使它为pi
可以使它为-2
我们可以使它们等于任何东西
所以x1等于――我们来看看
我们这样来写――
它们等于x3――
我用另一种颜色――
这样来写x3
那么它等于x3乘以某个向量
加上x4乘以某个其它向量
所以零空间的任何解集就是
这两个向量的线性组合
我们可以仅从
这两个限制条件来算出这两个向量
那么――我用柔和一点儿的颜色来算――x1等于
即-3*x3-2乘以x4
很简单
还有x2=2*x3+x4
那x3等于多少?
好 x3等于它本身
不管我们令x3等于多少 它就是x3
所以x3等于1x3+0x4
它里面没有x4
x3是一个独立变量
它是自由的
我们可以令它等于任何东西
我们令它等于x3
在我们的解集中
而x4中也没有x3
就是1乘以x4
所以我们的零空间就是
所有这两个向量的线性组合
这个可以是任何实数
这是任何实数
而x4就是在实空间里
所以所有这些
Ax的所有解所组成的集合
等于――我写哪里呢
我写过吗?
没有 我没写过
所有的使得Ax=0组成的集合 这是x
它等于所有的这些向量
和这个向量的线性组合
我们知道所有的线性组合是什么
就是零空间等于
这两个向量张成的空间 即[-3;2;1;0]
和[-2;1;0;1]张成的空间
现在我来问一个问题
在A中的列向量
它们是线性无关的吗?
它们是线性无关的集合吗?
我们在这里写的这些向量
它们就是A的列向量
我写下来
那么A的列向量――它们是什么?
我们来看看
是[1;3;2]
不 是[1;2;3]
还有[1;1;4]
还有[1;4;1]
还有[1;3;2]
所以这是A的列向量
我将A写成这些列向量
但我的问题是
这是线性无关的集合吗?
你可能马上开始考虑这个问题了
好吧 当我们说某个东西
是线性无关的――线性无关
它意味着只有一个解――
我们在前两个视频里看过了
只有一个解――
Ax=0的一个解是0
这就是0解
即x=0
或许解释这个的另一种方法是
A的零空间等于0向量
这就是线性无关的含义
两种方法都可以
如果零空间就是0
那么它就是线性无关的
如果零空间包含其它向量
那么就不是线性无关的
现在A的零空间 它包含什么?
它仅含有0向量吗?
好吧 不 它包含
所有这些向量的线性组合
事实上它包含无穷个向量
不仅仅有一个解
明显地0向量在这里
如果你乘以这两个――
如果取这个和这个是0
它就包含在这里 但你可以得到所有向量的集合
所有因为A的零空间 零空间 对不起
A的零空间不仅仅包含0向量
它包含0向量之外的东西
这意味着什么?
这意味着
它不仅只有这一个解
这就意味着这是线性相关的集合
这意味着什么?
在这集视频开始我问过
矩阵A的列空间是什么
我们知道A的列空间就是
列向量张成的空间
我就像这样写出来了
我说过
这是否是A的零空间的一组基不一定
基是什么?
基是张成子空间的向量的集合
它们还是线性无关的
我们刚刚说明了这些向量
不是线性无关的
这就意味着
它们不是A的列空间的一组基
它们张成了A的列空间 由定义
但它们不是基
它们需要是线性无关的
才能是基
那么我们来看看是否可以算出
列空间的基是什么
要算出来我们就要消去
某些多于的向量
如果我可以说明这个向量可以被
由其它两个向量的线性组合表示出来
我就可以消去这个向量
它没有提供任何新信息
这个也一样
谁知道呢?
来看看是否可以
算出这个问题
我们已经知道了x1 我这样来写
即x1乘以――
或许我应该停下来
下一个视频再继续讲
但我们知道x1乘以[1;2;3]
加上x2乘以[1;1;4]
加上x3乘以[1;4;1]
加上x4乘以[1;3;2]
我们知道这个等于0
现在如果能解出x4关于――
如果可以解出这些向量
关于自变量的形式
用其它向量
我来看看是否能算出来
你可以看出来这很简单
那么就说 我要解出x4
那么如果我从方程两边消去了这个
得到了什么?
我这样来写 令x3=0
这是一个自由变量
我可以这样做
所以如果我令x3=0 那得到了什么?
如果我说x3=0 这就消失了
而如果我从方程两边消去这个
就得到x1乘以[1;2;3]
加上x2乘以[1;1;4]
等于――我令x3等于0
这是自由变量
所以我令x3=0
所以这整个都消失了
这等于-x4乘以[1;3;2]
现在我令x3等于0
我令x4=-1
如果x4等于-1 那-x4呢?
好吧 那这个就等于1
就得到x1乘以[1;2;3]
加上x2乘以[1;1;4]
等于这里的第四个向量
我能总是找到这样的东西吗?
确实我可以找到这种特殊的向量
如果x3=0 x4=-1――
我复制粘贴一下这个上面的――
我再往下滚动一点儿
这是我们算零空间时得到的
这里的这个
所以如果我令――
记住这些是自由变量――
如果令x3=0 x4=-1
那x1是多少?
那么这就意味着
即x1=-3x3
这是0 减去2x4
如果x4=-1 就是-2*(-1)
那么x1=2
然后x2等于多少?
则x2等于2x3 就是0 加上x4
等于-1
所以我就证明了 如果我令这个等于2
这就等于-1
我就有一个这个向量
和这个向量直到加到第四个向量的线性组合
你可以证明这个
即2*1-1=1
还有2*2-1=3
还有2*3=6 再减去4是2
这就验算完了
所以我仅仅教会了你如何用 我们的定义
理解自由变量
和主变量
我们可以说明
解出第三个向量很简单
还有第四个向量 关于前两个的
我们知道
如果我们回到这个集合 第四个向量
不是必须的 没有对
向量集合张成的空间增加任何东西
因为这个可以被写成
这个和这个的线性组合
现在我们来看看是否这个东西 第三个向量
我们做一下相同的练习
这也是由自由变量得出的
来看看是否可以将它写成
这两个向量的线性组合
好吧 我们来做一下相同的工作
不取x3=0
也不取x4=-1
我们令x4=0
因为我要消去这个
我令x3=-1
如果x3=-1
这个方程简化成什么?
我们得到x1乘以[1;2;3]
加上x2乘以[1;1;4]
等于――如果这个是-1乘以[1;4;1]
然后我们在方程两边加上它
就是加上1乘以[1;4;1]
再一次地 我们可以解出x1和x2
如果x4=0而x3=-1 则x1x4=0
所以x3是-3 乘以x3
那么x1=3 对吧?
是-3乘以-1
那x2等于多少?
因为x4=0 我们可以忽略它
而x2=-2
所以等于3 然后这个是-2
我们看对不对
这里3*1-2=1
而3*2-2=4
而3*3-8=1
验算成立
所以我能写成这个向量
结合自由变量
作为这两个向量的线性组合
所以可以从集合里消去它
所以现在我就证明了
这个可以被写成
这两个的线性组合
这个可以被写成
这两个的线性组合
所以这些向量张成的空间等于
张成的空间――我写下来
矩阵A的列空间 我可以重新写成这样
在它是所有这些向量张成的空间之前
它是所以列向量张成的空间
即v1 v2 v3和v4
现在我仅仅证明了v3和v4
可以被写成v1和v2的线性组合
所以它们是多余的
这就等于v1和v2张成的空间
就是这两个向量
向量[1;2;3]和向量[1;1;4]
现在这两个中有多余的吗?
我可以将它们中的一个写成
另一个的线性组合吗?
其实当我讨论
一个向量的线性组合时
就是它乘以标量
我们来看看
你有许多方法可以看出来
但最简单的方法是看
从这一项到这一项
我仅仅乘以了1
但如果我将这整个向量乘以1
这里就应该是2
这里就应该是3
所以不是
如果我要将这个表示成
这个乘以标量
那么任何标量乘以[1;2;3]
都等于[1c;2c;3c]
对吧?
所以这个东西必须被表示成
像这样的东西
如果我们说这个是个标量
以某种方式可以被这个东西表示出来
那么这就是[1;1;4]
当你看上面这个元素时
这意味着c=1
但当你看第二个元素时
你会想c=1/2
所以矛盾
在这里c=4/3
所以没有能使这个式子成立的c
没有c
你可以用这两种方法
所以不能
将这些东西表示成
其它东西的线性组合
你可以用其它方法证明
或许更正式地 这是线性无关的
但给定这是线性无关的
我想你对这个很满足――
我们可以说向量[1;2;3]
和向量[1;1;4]的集合是A的列空间的基
现在我要让结束这集视频了
因为我想我有点儿超时了
但在下几集视频里我要做的就是
我已经说明的
这是A的零空间的基
我们可以理解这个
因为我们可以说A的列空间
等于这两个向量张成的空间
我们可以考虑
这两个向量张成的空间是什么
我们将要看到它是R3中的平面
和[1;1;4]张成的空间
而这是一个快速记忆 我已经说过很多次了
当我说它是基时
我的意思是 说这些东西
它们都张成了A的列空间
当我有四个向量时
它们也张成了A的列空间
但使它们成为基的
是因为这些向量是线性无关的
没有额外的信息
或多余的可以被
其它向量表示出来的向量
它们是线性无关的
好吧 下课啦