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我是Adrien Douady.
我在数学上的成就
集中于复数方面.
我的贡献在于推动了代数几何学
与动力系统理论.
复数历史悠久.
这儿左边是Tartaglia 和 Cardano,
复数的创始者,生活在文艺复兴时期.
右边是Cauchy 和 Gauss,
在19世纪巩固了这个理论.
复数
并不复杂!
它们曾被叫做"不可能的数字"
至今有时也会被称为"虚的".
因为,它确实需要一点儿想像力。
然而今天,这些数在科学中随处可见
并也不再神秘了.
由它们还能画出
漂亮的分形图形。
我做过许多相关研究.
还制作了最早数学动画片之一
"兔子的动态图"。
我先在黑板上为你解释复数.
数学家总是喜欢用粉笔写字...
看我的三角尺和量角器
有时表现得很不寻常...
先画一条加上刻度的直线。
数学中最好的方法之一,
是将几何与代数联系起来.
这是代数几何学的开端.
数字可以两两相加, 点也可以!
看这红蓝两点, 都在直线上。
这两点相加,
等于绿点!一加二等于三!
移动红蓝两点,
其"和"绿点也随之移动.
更有趣的是点点之间还可以相乘.
例如,乘以 -2 的运算.
将点 1 变为点 -2.
若再次乘以-2,
则换回到
原点的同一侧,
并将距离扩大两倍.
当然,我们得到 4.
所以连乘两次 -2,,
相当于乘以 4.
乘以-1是非常简单的.
每一点都被送到了关于
原点对称的一点上,
也就是转动半圈,
或说旋转180度.
一个数乘以它的本身,
结果总是正的.
如果乘一次负1,
是转动半圈;
再乘一次,
则回到了起点!
负1 乘以 负1 等于
正1。
你看, 乘以负1 的运算,
将 2 送到 -2。
若再次乘以负1 ,
则又回到了 2.
很明显,不是吗?
因此,没有任何一个数
乘以它本身等于-1.
也就是说,-1没有平方根.
可数学家是极富创造力的!
19世纪初,Robert Argand
有一个非常棒的主意.
他对自己说: 既然乘以负1
是转动180度,
它的平方根应是转动它的一半:90度.
转动两次四分之一圈,
正好是转动半圈!
四分之一圈的平方是半圈,所以我们得到负1.
这样想就足够了!
因此,Argand宣布 负1 的平方根
是对应于1的一个90度的旋转.
然而,这迫使我们离开水平直线,
将一个数赋予
不在直线上的平面中的点!
由于这个构造有点儿奇怪,
我们说 负1 的平方根,是一个虚数。
并称它为 i.
但是,一旦我们有勇气离开直线,
问题就变得简单了.
2i,3i等都可被表现出来。
平面上的每一点都对应着一个复数
相反地,所有复数都定义一个平面上的点.
平面上的点全部变成了数!
而且他们还可以两两相加。
看这红点,它表示 1+2i .
将它与蓝点 3+i 相加,
很自然的,
我们得到...
4+3i .
从几何学角度来说,这只是向量相加.
不仅它们可以相加,
更有趣的是,
这些复数也可以相乘,
正如实数一样.
请看...
怎样将一个复数乘以 2.
2 乘以 1+2i 自然应该
等于 2+4i 。
从几何学角度来说,乘 2 非常简单;
它只是扩大两倍;
红点扩大两倍,正是绿点!
乘 i 也并不困难,
只是相当于转动四分之一圈.
要将 3+i 乘以 i,
只需将其转动四分之一圈.
得到的是 -1+3i 。
不算复杂吧!
最后,我们可将任意两个复数相乘
没有问题吧?
例如, 把 2+1.5i 与 -1+2.4 i 相乘.
如通常一样,
先算乘 2 ,再算乘 1.5i ,然后将结果相加.
于是我们得到:
"2乘以..."
我们得到
-2 + 4.8 i + (- 1.5 i + 3.6*i*i)。
但是, 要记得 i 的平方等于 -1,
所以要把 i*i 换成 -1。
我们得到:
-2 -3.6 加上...
整理一下, 即得到
-2 -3.6 + 4.8 i - 1.5 i ,
结果是
-5.6 + 3.3 i 。
好了,现在我们能够
将复数相乘了,
换句话说,我们能将平面上的点相乘!
这太不可思议了!
我们曾认为平面是2维的
因为需要两个数
来描述任意一点的位置
但现在一个数就够了!
当然,现在涉及到的是复数!
此时要引进
两个新概念:
复数的模和辐角.
复数 z 的模
只是原点与 z 点之间的距离.
测量一下红点的模
也就是 2 + 1.5 i 的模
看, 它等于 2.5.
因此 2 + 1.5 i 的模是 2.5.
对于蓝点,我们得到 2.6.
对于绿点,
红点与蓝点的积,
我们得到 6.5 。
这是个规则:两个复数的乘积的模
正是它们的模的乘积.
复数的辐角
是这点和原点的连线,
与横轴的差角。
如红色复数的辐角
是36.8度.
蓝点的辐角是112.6度.
它们的乘积,绿点的辐角是149.4度;
这是两个数的辐角的和...
两个复数相乘,
相当于模相乘,辐角相加.
让我们用球极平面射影
来完结与复数的首次相遇.
取一球体,让它在原点与黑板相切.
对黑板上的每一点,
使用球极平面射影
将每个复数,
对应于球面上的一点.
只有球体的北极
也就是投影的极点,
与任何复数都没有联系。
我们说它对应于无穷远处.
数学家们说球面
是一条复射影直线.
为什么是直线?
因为只需一个数来描述它的点!
为什么是复的?
因为这些数是复数.
为什么是射影?
因为要用射影来加入一个无穷远点.
数学家们真是怪异,
竟然说球面是一条直线!