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在前幾個影片中,我告訴你任何數的零次方,就等於1
所以,x的零次方就等於1
我給你一個為什麼會如此的論證
例如,如果我們有3的一次方
就等於3
3的二次方等於9
3的三次方等於27
所以每次我們減少次方數,就除以3
27除以3等於9
9除以3等於3
3除以3等於1
所以這就是3的零次方
這是一個思考方式
另一個思考方式是,我們需要這個來讓
指數的法則成立
例如,假設a的b次方乘以a的c次方
就等於a的b+c次方
現在,假設c等於0的話?
假設a的b次方乘以a的零次方會是多少?
好,依照法則,這會等於a的b+0次方
就等於a的b次方
所以,a的b次方乘以a的0次方就等於a的b次方
如果你把兩邊都除以…讓我重寫這個
a的b次方乘以a的零次方,如果你使這個法則
就等於a的b次方,對嗎?b+0等於b
如果你將兩邊同除以a的b次方,你會得到?
在左邊,你會剩下
只有a的零次方,對嗎?
這些都消掉
a的零次方就等於1
你可以用類似的論證在大部分的
指數法則都適用,我們需要所有數的零次方
都等於1
當我們除以3,它也是合理的,當我們一步步
減少指數的時候
它一直都適用
當你有3的-1次方,我們看到
上個影片中,這就等於1/3的一次方
或者1/3
再一次,從3到0到1/3
你再次除以3
所以,這再度說明3的零次方就等於1
是很合理的
但,這中間有個小問題
那就是0的零次方是多少?
這是個很怪的觀念
0乘以自己零次
這得根據你用什麼內容而定
有時,有人會說這是未定義
但多數時候,至少在我的經驗
這被定義為1
理由是即使這不是完全直觀
你可以打0的零次方在goole上
它會給你1的答案
即使這不是完全直觀,
這被定義為如此是因為可以讓很多公式
行得通
特別是,二項式定理可以使用在二項式的係數
我在這邊就不多說了
當0的零次方等於1
這是一件值得你思考的有趣的事
這代表什麼意思
讓我們談一些其他法則
然後我們可以把它們用一些例題放在一起
在上個影片,我告訴你
指數為負的意思是什麼
a的-1次方,或者我應該說
a的-b次方等於1/a的b次方
來做一些實例
3的-3次方等於1/3的3次方
等於1/(3x3x3)
等於1/27
如果我問你,1/3的-2次方是…
好,這會變為1/(1/3)的
二次方
你去掉負,然後反轉它
所以,這就等於1/ …
1/3 x 1/3 等於多少?
1/9
就等於… 這是1除以1/9
等於1x9,所以等於9
這完全合理,因為1/3,記住,1/3是
3的-1次方,對嗎?
3的-1次方等於1/3的一次方
就等於1/3
所以如果我們把1/3用3的-1次方取代
就變成3的-1次方的-2次方
這兩個是相同的
如果我們用第一個影片學到的法則
我們可以把這兩個指數
算出乘積
所以,這就等於3的-1乘以-2次方
等於+2,所以答案等於9
所以,這很俐落,所有這些指數法則
都融合在一起,在很好、很巧妙的問題裡
它們不會互相矛盾
你用哪個法則不是重點,你最後都會得到
正確答案,只要你不做一些
瘋狂的事
現在,最後一件我想定義的
是分數指數的概念
如果我有一個分數指數
假設a的1/b次方
我要定義這個
這會等於a的b次方根
讓我說的非常清楚
讓我用一些數字
假設4的1/2次方,這表示
等於4的平方根
就等於…,如果我們取正的平方根
這就等於2
如果我要算,8的1/3次方
這就是要算8的立方根
在某程度上,這有時是最讓人困惑的
指數問題之一
我是說,哪個數字自己乘三次
會等於8
如果說,x等於8的1/3次方
這就等同於說x的三次方
等於8
我如何知道這是相等的呢?
好,我可以把等式兩邊都變成
三次方
如果我把左邊變三次方
右邊也變三次方,我得到什麼?
在左邊,我得到x的三次方
在右邊,我得到8的(1/3 x 3)次方
也就是3/3,等於1
所以,如果x等於8的1/3次方,x等於?
好,2x2x2等於8
這沒有什麼簡單的方法,特別是你要做四次方根
或五次方根,你算這些
可能會有小數點
你大部份都需要計算機來做這些
但像8的1/3次方,或16的1/4次方,或27的1/3次方
它們都不難計算
所以,在這邊,讓我清楚的寫下,等於2
現在,讓我們再弄的更令人困惑一些
27的-1/3次方等於多少?
好,別太擔心
我們會一步步的做
當你做負的指數,這就等於
1/27的1/3次方
這兩個是相等的
你把負的去掉,然後變為
1除以這整個
然後,27的1/3次方是多少?
好,哪個數字自己乘三次等於27
就是3
所以這就等於1/3
不錯
現在,我要進到下一個層級,讓它更令人困惑
甚至有點令人害怕
現在,讓我來做點有趣的事
8的2/3次方是多少?
這似乎有點嚇人
你要記住的就是這就等於
用我們的指數法則
等於8的平方的1/3次方
我怎麼知道的?
好,如果我把這兩個指數乘起來,就是2/3
所以8的2/3次方就等於8的平方
再求它的立方根
但你也可以用另一個方式來看
這應該也等於8的1/3次方的平方
因為不管哪個方式,當我乘這兩個指數
我都得到8的2/3次方
讓我們驗證一下,我們是真的
得到一樣的結果
所以8的平方等於64
然後算它的1/3次方
下面這邊,我們有8的1/3次方
我們已經想出來這是多少
是2,因為2的三次方等於8
所以這是2的平方
現在,64的1/3次方是多少?
什麼數自己乘三次會等於64?
4x4x4等於64,或者4的三次方
等於64,就表示4就等於
64的1/3次方
所以,這就等於4
很幸運地,2的平方也是4
所以,你用哪個方法來做都可以
你可以先平方,然後再算立方根
或者你可以先算立方根,然後再平方
你會得到相同的答案
現在,我做的一切
都是真實的數字
讓我再做幾題,把我們做過的整合
用變數的方式
假設我們想要再做幾個式子
而且想確認答案裡面
沒有負的指數
假設x的-3次方/x的-7次方
有很多方式來看這題
我們可以視這等於x的-3次方乘以
1/x的-7次方
1/x的-7次方 等於多少?
這就等於x的7次方,對嗎?
如果你有1/某數,你可以把1/ 拿掉
然後在指數前面放上負號
但如果你放一個負號在
-7前面,你會得到x的7次方
所以,這可以簡化為x的-3次方乘以
x的7次方
然後,我們可以把指數加起來,變為
x的4次方
現在,另一個方式,一個完全正規的方式
是我們只要把指數相減
我們可以說,好,這是同樣的
這會變為x的-3次方
減-7次方
好,-3減-7,就等於-3加7
就等於x的4次方
最後一個方法,事實上
還有超過一種以上的方法可以做這題
假設x的-3次方/x的-7次方
抱歉,不是-x…
x的-7次方
好,x的-3次方等於1/x的3次方
就是這邊這個,乘上1/x的-7次方
這會等於
1/x的3次方乘以x的-7次方
你可以把指數加起來,3-7等於-4
就等於x的-4次方
如果我們要把倒轉去掉
我們把它倒轉,可以在指數前面加負號
所以就變正
就等於x的4次方
所以,不管我們如何做,只要我們都遵守
這些規則,就會得到x的4次方
讓我們再做一題稍微簡單一些的
然後我想就先到這邊
假設3x平方乘以y的3/2次方
然後除以x乘以y的1/2次方
好,再一次,這就等於3乘以…
x的部分在這邊,所以3乘以x平方/x,
乘以y的3/2次方/y的1/2次方
好,這等於3乘以…
x平方/x 等於?
或者x平方/x的一次方?
就等於x的2-1次方
這就等於乘以y的 3/2 - 1/2 次方
這整個會變為?
變為3x
2-1等於1,我可以只寫x在這邊,乘以
3/2 - 1/2 等於2/2
所以,y的2/2次方
2/2,所以就等於y
所以這就等於3xy
不論如何,我鼓勵你做更多
題目
但,你會看到只是在用這些規則
我們已經在過去幾個影片中告訴你
你可以簡化任何指數的式子
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