Tip:
Highlight text to annotate it
X
几个视频之前
我告诉过你们任何数的0次方等于1
所以x的0次方等于1
我们讨论过为什么会这样
我用过这样的例子 如果3的一次方
等于3
3的平方等于9
3的三次方等于27
所以每次指数减少1 就要除3
27除3等于9 9除3等于3
3除3等于1
这就应该是3的0次方
这就是我的一种考虑方法
另一种思考方法是
我们需要让指数性质一直成立
例如 我告诉你们a的b次方乘a的c次方
等于a的b+c次方
如果c是0会怎样?
如果a的b次方乘a的0次方是多少?
根据性质 这应该等于
a的b+0次方 也就等于a的b次方
所以a的b次方乘a的0次方一定要等于a的b次方
如果两边都除以- 我重写一下
a的b次方乘a的0次方 如果用上面的性质
这一定等于a的b次方 对吧?b+0=b
如果两边都除a的b次方 得到什么?
左边 就剩下了a的0次方 对吧?
这些消掉了 a的0次方等于1
你们可以对所有的指数性质
进行简单的讨论
我们需要所有数的0次方等于1
这也说得通 每当我们减小指数
都要除3 继续下去 一直是成立的
当求3的-1次方 我们在上个视频中看到过
这就等于1除3的一次方
或者1/3 同样的
从3到1到1/3 每次除3
在某种程度上 3的0次方
就等于1
但是这里留下了一个问题
0的0次方是多少?
这是个非常奇怪的问题 0乘自身0次
这取决于你们用什么来计算
有些人说这是没意义的
但是更多时候 至少我的经验是
它被定义为1 原因是
即使对它完全没感觉
你们可以在谷歌上搜索0的0次方
它就会给出1
即使这很违背直觉
它这样定义的原因是
这样能让很多公式成立 尤其是
根据二项式定理求二项式系数
这里我就不多说了
当0的0次方是1时
当你思考这个的意思时
是非常有趣的
我们再来讨论几个别的性质
然后通过几个例题把性质合到一起使用
我在上个视频中告诉过你们
这个的意思是负指数
a的-1次方 或者我应该说
a的-b次方等于1除a的b次方
我们来做一些具体的问题
3的-3次方等于1除3的3次方
就等于1除3×3×3
就等于1/27
如果我要问你们1/3的-2次方是多少
这应该等于
1除1/3的2次方
去掉负号然后求倒数
所以这就等于1除 1/3乘1/3是多少?
1/9 这就等于
这就是1除1/9 也就是1乘9
这就等于9
这非常正确 因为1/3 记住
1/3也就是3的-1次方 对吧?
3的-1次方等于1/3的一次方
也就是1/3
如果用3的-1次方代替1/3
这就是3的-1次方的-2次方
这两者是相同的
如果我们用第一个视频中学到的性质
我们可以取两个指数的乘积
所以这就等于3的-1乘-2次方
就是+2 这就等于9
怎么把指数的性质应用到问题中
是非常灵活的
它们互相不冲突
用哪个性质是无所谓的
到最后都能得到正确的答案
只要你们没有做错
现在 我想要定义的最后一个问题
是分数的指数
如果有一个数的分数次方
设这有a的1/b次方
我要定义这个
这就等于a的b次方根
我们理一下思路
我们带入一些数
如果这是4的1/2次方
这就是说它等于4的平方根
这就等于 我们如果取平方根
就等于2
如果求 理一下思路 8的1/3次方
就是取8的立方根 在某种程度上 这有点-
有时这在指数运算中让人迷惑
这里说的是 哪个数乘以自身3次
等于8?
如果设x等于8的1/3次方
这就是说x的三次方
等于8
我怎么知道这些是相同的?
如果我将方程两边都取三次方
如果左边求三次方
右边求三次方 得到了什么?
左边 就有x的三次方
右边 就是8的1/3×3次方
也就是3/3 等于1
如果x等于8的1/3次方 x是多少?
2乘2乘2等于8
没有很简单的方法
尤其是一旦要求四次方
或五次方根 或者进行小数计算
大多数情况下你们需要计算器
但是像8的1/3次方 或16的1/4次方
或27的1/3次方 算起来不是很难
所以这个 等于2
我们做一些更复杂的
27的-1/3次方是多少?
不要太紧张
我们只要一步一步做
当求负幂次
这就等于1/27的1/3次方
这两个是相等的
去掉负号 然后1除所有的数
然后27的1/3次方是多少?
哪个数乘自身3次等于27?
这就等于3
这就等于1/3 不错吧
现在我要提高一个水平
让这更复杂 更吓人
现在来做点有趣的
8的2/3次方是多少?这好像有点疯狂
你们要记住的是 这就等于
只要用指数规则 8的平方的1/3次方
我怎么知道的?
如果把这两个指数相乘 就是2/3
所以8的2/3次方就是8的平方
然后求三次方根
你们也可以用另一种思考方法
这也等于8的1/3次方的平方
因为无论哪种方法 把指数相乘
都会得到8的2/3次方 我们来验证一下
两个值确实相等 所以8的平方是64
我们取它的1/3次方
下面这个 这是8的1/3次方
我们已经算出了这是什么
这是2 因为2的3次方是8
这是2的平方 现在 64的1/3次方是多少?
哪个数乘以自身3次是64
哦 4×4×4=64
或者说4的三次方是64
也就是说4等于64的1/3次方
所以这就等于4
很幸运 2的平方也等于4
所以无论用哪种方法都行
你们可以求这个的平方然后求三次方根
或者先求三次方根然后平方
会得到相同的结果
现在 我做的都是关于具体数字的
我们做几个把我们学过的东西都
融合到一起的带变量的问题
我们写几个表达式
确定一下答案中没有负指数
x的-3次方除x的-7次方 加上x
有很多考虑方法
我们可以把这看做x的-3次方
乘以1除x的-7次方
1除x的-7次方是多少?
这也就是x的7次方 对吧?
如果1除一个数 你们可以去掉1除
在指数前面加一个负号
如果在-7前面加一个负号
就得到x的7次方
所以这部分可以化简成x的-3次方
乘x的7次方
然后指数相加
就得到x的4次方 另一种方法
一种非常合理的方法就是
只要将指数相减即可
因为它们的底相同
这就是x的-3
减去-7次方
-3-(-7) 这就是负3+7
就等于x的4次方
最后一个方法 我的意思是
我的意思是不止一种方法可以解出来
你们可以说x的-3次方除x的-7次方
不好意思 不是-x 除x的-7次方
x的-3次方就是1除x的三次方
就是这部分 乘1除
x的-7次方 这就等于
1除x的三次方乘x的-7次方
这两个指数相加
这就等于1除3-7就是x的-4次方
然后这个 如果去掉负号
我们取它的倒数
我们可以在这个负数以前加一个负号
让它变成正数 这就等于x的4次方
所以不管怎么做
只要用的规则是对的
都能得到x的4次方 我们再做一个更难的
然后我们就讲完了
这有3乘x方乘y的3/2次方
除以x乘y的1/2次方
同样的 这就是3乘x项
3乘x方除x
乘以y的3/2次方除y的1/2次方
这就等于3乘
x方除x是多少?
或者x方除x的一次方?
这就等于x的2-1次方
然后乘以y的3/2-1/2次方
上式变成了多少?变成了3乘x
2-1=1 只写x就行
乘3/2-1/2=2/2 所以这就是y的2/2次方
2/2 这就等于y
所以这等于3xy
不管怎样 我鼓励你们多做这样的练习题
但是 你们能看出来 只要用我们
在这几个视频中学过的规则
你们就可以很容易化简任何一个指数表达式