Tip:
Highlight text to annotate it
X
再来看 S2 球面和它的纬线。
S2中每一点的上方,
都可想像一个 Hopf 圆周。
看, 这是其中一条纬线
(例如赤道)上方的圆周们。
这是另一条纬线对应的圆周。
它们正向南极移动。
为什么这个环面似乎变得越来越小?
因为在南极的上方,
只有一个圆周。
而在北极上方,我们看到一条红色直线,
其实它是一个经过无穷远处的圆周。
现在让我们转动它们。
当然啦,
是在四维空间中的旋转。
实际上这些图片中的一部分
在很久以前就已被大众所知。
人们将环面上四个圆周族的存在
归功于Villarceau侯爵,
而一些更早的迹象,
可在史特拉斯堡大教堂的一个雕刻品中看到。
让我们取一个旋转环面:
它由一个圆周围绕一根
对称轴旋转所得。
现用一个平面切割环面。
注意我是怎样选取这个平面的。
我们说它与环面双切,
因为它准确地在两点正切。
注意看哦,
此平面沿着两个完美圆周切开环面。
这就是 Villarceau 定理 :
一个与环面双切的平面将环面沿着两个圆周切开。
当然,并不只有一个双切平面。
这儿有另一个,将环面沿着另外两个Villarceau圆周切开。
还有很多个双切平面 :
只需饶着对称轴旋转。
你看,环面上的每一点
经过四个圆周,
由一些恰当的平面截得。
一个是平行环,
一个是子午环,
接着是第一个 Villarceau 圆周
和另一个。
对环面上的任意一点如法炮制,
即可看到环面被四个圆周族覆盖。
两个同族圆周不会相遇。
蓝圆周与红圆周只在一点相遇。
黄圆周与白圆周在两点相遇:
它们是 Villarceau 圆周。
注意看这些黄色圆周:
它们正是 Hopf 圆周!
还记得刚才在一条纬线
上方出现的纤维们吗?
它是一个被互相缠绕的圆周填满的环面,
正如这个被黄色圆周填满的环面。
那么,白色圆周是什么呢?
它们是另一个Hopf纤维化的纤维!
是黄色圆周的镜面反射。
最后,取出一个
旋转环面,
与它的四个圆周族,
并在三维球面中想像它,
接着,在四维空间中转动球面,
再使用球极投影
投回到三维空间中来。
这样,我们得到一些面
同样被四个圆周族覆盖:
它们是 Dupin 四次圆纹曲面。
有时,当环面经过投影极点时
其投影经过无穷远处...
这时,它的内外两面甚至可以交换位置。
环面内面是粉色的,外面是绿色的。
嘿嘿,一个在四维空间中的简单旋转,
就把绿色变成粉色而粉色变成了绿色!
难道这不壮观吗?!