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接下來我們看第48題
題目說,如果 x 的平方加上 x 總共會是42
所以我們就直接把它寫出來
如果如果 x 的平方加上 x ,總共會是42
下列哪一項會是 x 的值呢?
所以其實我們只需要解開這個方程式
所以最簡單的辦法就是對它作因式分解
然後求出兩個因式分別等於零的解
所以我們可以把原式改寫成 x^2+x-42=0
所以我們可以把原式改寫成 x^2+x-42=0
然後想想看
哪兩個數字會是加起來等於1 而且乘起來是 -42?
哪兩個數字會是加起來等於1 而且乘起來是 -42?
因為這兩個數乘起來要是 -42
所以我知道其中一定一個是正數 一個是負數
所以我知道其中一定一個是正數 一個是負數
這樣你把兩個數乘起來的時候
才有可能得到一個負數
所以一個是正數 一個是負數
所以一個是正數 一個是負數
然後我們要把正數和負數加起來
實際上就是在找這兩個數的差
所以這兩個數的差應該要是 1 而兩數之積是 42
所以這兩個數的差應該要是 1 而兩數之積是 42
然後我看看 42 這個數字馬上想
噢,是 6 和 7
6 乘 7 等於 42
又因為兩個數加起來要是正 1 7 應該是正的 而 6 應該是負的
又因為兩個數加起來要是正 1 7 應該是正的 而 6 應該是負的
又因為兩個數加起來要是正 1 7 應該是正的 而 6 應該是負的
所以我們來試試看
(x+7)(x-6)=0
然後,對,7×(-6)= -42
而且 7x+(-6x) = x
或是你可以這樣想 7 - 6 等於 x 項的係數,也就是 1
或是你可以這樣想 7 - 6 等於 x 項的係數,也就是 1
要這樣算也可以
當然你可以把這個乘開檢查看看
我剛剛說的這些不是什麼巫術
我之所以說這兩個加起來要等於 1 是因為 當你把這條式子乘開以後 這兩個數相加會組成中間這項
我之所以說這兩個加起來要等於 1 是因為 當你把這條式子乘開以後 這兩個數相加會組成中間這項
我之所以說這兩個加起來要等於 1 是因為 當你把這條式子乘開以後 這兩個數相加會組成中間這項
你把式子乘開以後 就是這個 7x + (-6x) 會組成中間這項
你把式子乘開以後 就是這個 7x + (-6x) 會組成中間這項
第一項是從 x 乘 x 來的
-42 是從 7 × (-6) 來的
好吧,我們回到這裡
我們看,OK,好我們得到這組東西 乘起來會等於0
我們看,OK,好我們得到這組東西 乘起來會等於0
這表示可能其中一個 或是兩個都會等於零
這表示可能其中一個 或是兩個都會等於零
所以 x+7=0 等號兩邊同減 7
所以 x+7=0 等號兩邊同減 7
x 會等於 -7
或是 x-6=0 等號兩邊同加 6
或是 x-6=0 等號兩邊同加 6
x 會是 6 或 -7
然後有一個選項符合
選項 A 就是答案
下一題
第 49 題
等號兩邊要同時加上什麼數字才能夠完成 完全平方式呢?
等號兩邊要同時加上什麼數字才能夠完成 完全平方式呢?
所以你在算這個平方的時候你想要讓這個東西看起來像個
你要讓左手邊的那些東西看起來像完全平方式
你要讓左手邊的那些東西看起來像完全平方式
完全平方式是什麼東西呢?
如果我有 (x+a)^2 這個會等於 (x+a)(x+a)
如果我有 (x+a)^2 這個會等於 (x+a)(x+a)
然後 x 乘 x 會得到 x 平方 x 乘這個 a ,所以加 ax
然後 x 乘 x 會得到 x 平方 x 乘這個 a ,所以加 ax
然後這個 a 又乘這個 x 得到另外一個 ax
然後這個 a 又乘這個 x 得到另外一個 ax
再加上 a 乘以 a
所以加上 a 平方
所以這會等於 x 平方 加上 我們現在有兩個這個 加上 2ax 加 a 平方
所以這會等於 x 平方 加上 我們現在有兩個這個 加上 2ax 加 a 平方
所以我們想要這個東西 我們希望等號左手邊看起來長得像這樣
所以我們想要這個東西 我們希望等號左手邊看起來長得像這樣
所以我們說 這是一個完全平方式
我們可以說這個式子會等於 x+a 的平方
所以我們來想想看要怎麼做
如果我們有 x^2 - 8x = 5 然後我留一個空格在這裡
因為我們想要加或是減個東西 來讓這個式子看起來像是完全平方
因為我們想要加或是減個東西 來讓這個式子看起來像是完全平方
所以來想想看
如果我們把式子寫成這樣 為了要把式子變成完全平方式
不管這個係數是什麼 就是這個
最後一項一定要是中間那項的一半 的平方
a 平方這項是 2a 的一半 然後把它平方
所以我們用 -8 的一半 就是-4
在這個狀況 如果我們說 2a 等於 8 (此處作者口誤 應為-8) a 應該等於 -4
在這個狀況 如果我們說 2a 等於 8 (此處作者口誤 應為-8) a 應該等於 -4
然後 -4 的平方是多少呢
是 正16
然後因為這是一個方程式
所以你對方程式的一邊做了什麼 你也要對方程式的另外一邊做一樣的事
所以你對方程式的一邊做了什麼 你也要對方程式的另外一邊做一樣的事
所以你想要讓兩邊相等
你就要在兩邊都加上16
不然這個方程式就變掉了
現在 你認得出來這是個完全平方式
現在 你認得出來這是個完全平方式
你可以對照上面這個式子
或是你可以說 OK 如果我把 -4 連加兩次就會得到 -8 連乘兩次就會得到 16
或是你可以說 OK 如果我把 -4 連加兩次就會得到 -8 連乘兩次就會得到 16
所以這就是 x-4 的平方 會等於 25 (應為21)
所以這就是 x-4 的平方 會等於 25 (應為21)
而且 如果你有興趣 我們在 Khan Academy 也做了影片 在講這個 這就是我們證明二次方程式公式解的辦法
而且 如果你有興趣 我們在 Khan Academy 也做了影片 在講這個 這就是我們證明二次方程式公式解的辦法
而且 如果你有興趣 我們在 Khan Academy 也做了影片 在講這個 這就是我們證明二次方程式公式解的辦法
你用 a b c 這些代數來做一個一元二次方程式
你用 a b c 這些代數來做一個一元二次方程式
你知道 我們只用十分鐘就搞定了 所以這其實沒有這麼難懂
你知道 我們只用十分鐘就搞定了 所以這其實沒有這麼難懂
不過題目其實只是想要知道 你在等號的兩邊要同時加上什麼數字
不過題目其實只是想要知道 你在等號的兩邊要同時加上什麼數字
方程式兩邊要加上什麼數字 才可以組成完全平方式
方程式兩邊要加上什麼數字 才可以組成完全平方式
所以這一題的答案是 16
不過其實我們也可以 這個 用完全平方式來解 x
不過其實我們也可以 這個 用完全平方式來解 x
你說 噢 x-4平方等於 25 (應為21 因此後面計算有誤)
所以 x-4 會等於 正負5 (正負√21)
然後你就可以說 x 會等於正負5 再加上4 ( x = ±√21 + 4)
然後你就可以說 x 會等於正負5 再加上4 ( x = ±√21 + 4)
然後你就可以說 OK 4+5=9 4+(-5) = -1
然後你就可以說 OK 4+5=9 4+(-5) = -1
然後你就可以說 OK 4+5=9 4+(-5) = -1 x = 9 或 -1 ( 正解為 x = 4 ±√21 )
無所謂 題目沒有問 所以也不用花太多精神想這件事
無所謂 題目沒有問 所以也不用花太多精神想這件事
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我看看 我們要來解第50題
我看看 第50題...
我會把第50和51題貼上來
好 下列何者是一元二次方程式 x^2-6x=16的解?
好 下列哪些是一元二次方程式 x^2-6x=16的解?
這裡你好像是要用以前解一次式的方法來解
這裡你好像是要用以前解一次式的方法來解
我不知道 找出 x 然後 ... 之類的
我不知道 找出 x 然後 ... 之類的
但是其實比較重要的是要看出這是一條一元二次方程式
但是其實比較重要的是要看出這是一條一元二次方程式
那解這個最簡單的辦法就是把所有東西搬到等號一邊 然後等號另外一邊變成0
那解這個最簡單的辦法就是把所有東西搬到等號一邊 然後等號另外一邊變成0
接下來因式分解 或是用公式解
接下來因式分解 或是用公式解
或是配方法 都可以
所以我們兩邊同減16
然後你會得到 x^2 + 6x -16 = 0
只要兩邊同減16就到這邊了
然後在我們直接用公式解爆開之前 先來看看可不可以因式分解
然後在我們直接用公式解爆開之前 先來看看可不可以因式分解
所以 哪兩個數字加起來等於6 正6 然後乘起來等於-16呢?
所以 哪兩個數字加起來等於6 正6 然後乘起來等於-16呢?
就像之前說過的 因為乘起來要是-16 所以一定一個是正一個是負
就像之前說過的 因為乘起來要是-16 所以一定一個是正一個是負
兩個數字一定要異號
一個是正的 另外一個是負的
然後這兩個數字的差應該是六因為其中一個是正
另外一個是負
所以我們來想想看
如果我有一個負 嗯 8乘2等於16 而且他們的差是6
如果我有一個負 嗯 8乘2等於16 而且他們的差是6
所以我把它分解成 +8 和 -2 沒錯
+8 加 -2 是 +6
所以分解的結果是 (x+8)(x-2)
這其實只要多練習幾次就會了
你說 OK 要分解成哪兩個數字呢?
16
OK
8和2
他們倆個會異號
但是我中間項是正的 所以比較大的那個應該是正的
但是我中間項是正的 所以比較大的那個應該是正的
所以是+8 和 -2
耶 所以你把它們加起來 會等於+6 (作者此處口誤)
耶 對了
所以我們看這兩項乘起來等於0
然後你說 OK 要嘛這個等於0 要嘛那個等於0
然後你說 OK 要嘛這個等於0 要嘛那個等於0
所以 x 等於 -8 如果你說 x+8=0 然後兩邊同減8
所以 x 等於 -8 如果你說 x+8=0 然後兩邊同減8
你就會得到 x=-8
我不該跳過這一步的
不過我現在還是會先寫出來
或是也有可能 x-2=0
兩邊同加2 你會得到 x=2
x 是什麼的時候會讓這個式子等於0呢?
你可以檢查看看
所以 x 應該等於 -8 或 2 答案是選項C
第51題
琳安用配方法解對了 x^2+4x = 6
琳安用配方法解對了 x^2+4x = 6
下列哪一條會是她解題的過程
OK 跟之前一樣
x^2 + 4x
然後如果你要配完全平方 你就要在這邊加什麼東西
然後如果你要配完全平方 你就要在這邊加什麼東西
所以我先留個小空格
然後等於 6
所以我這邊要加什麼東西 這邊才會看起來像完全平方式呢?
所以我這邊要加什麼東西 這邊才會看起來像完全平方式呢?
好 看一下我們剛剛解題目用的那個式子
好 看一下我們剛剛解題目用的那個式子
這邊要擺的應該是 x 項係數一半的平方
所以 4 好 一半就是 2
2的平方等於4
所以我應該在這邊加上4
如果我在這邊加上4 我在這邊也要加上4
如果我在這邊加上4 我在這邊也要加上4
所以現在這個 2+2=4 2×2=4
所以現在這個 2+2=4 2×2=4
所以這就是 (x+2) 的平方
然後這邊我希望你抓住那個感覺
不要把配方的步驟硬記下來
我要你真的知道為什麼 這項是x項係數一半的平方
我要你真的知道為什麼 這項是x項係數一半的平方
這個我們在開頭有講過了
如果你自己試著乘開幾個像這樣的完全平方式
它們都會長得像這樣
總而言之 所以這是 (x+2) 的平方
它們會等於 6加4等於10
所以答案是選項B
.
我想我們還有時間多做一題
再一題 第52題
先複製 然後我現在貼上來
卡特正在用因式分解解這條方程式
下列哪一條是正確的因式呢?
跟之前一樣 我個人喜歡先把共同的倍數除掉
跟之前一樣 我自己喜歡先把共同的倍數除掉
所以這些全部除以 5
這樣看起來就簡單多了
所以如果我把每一項都除以5 事實上 我可以把等號兩邊都除以5
所以如果我把每一項都除以5 事實上 我可以把等號兩邊都除以5
0÷5=0
然後等號左邊除以5就變成 2x^2 -5x +3 = 0
然後等號左邊除以5就變成 2x^2 -5x +3 = 0
所以如果這邊是2x平方 這裡就會有兩個數字乘起來等於3 然後你...
所以如果這邊是2x平方 這裡就會有兩個數字乘起來等於3 然後你...
我們稍微想一下這個
我們先在這邊把式子寫下來 因為我等一下應該會用到比較多空間
我們先在這邊把式子寫下來 因為我等一下應該會用到比較多空間
2x^2 - 5x +3 = 0
我先把兩邊都除以5得到這個式子
我先把兩邊都除以5得到這個式子
所以我們來看看我們能做什麼
所以我們這邊有個2x平方 算是提示我們應該會有整數解
所以我們這邊有個2x平方 算是提示我們應該會有整數解
所以大概可以因式分解
所以這個直覺是 2x 乘上 不是 加上什麼東西
所以這個直覺是 2x 乘上 不是 加上什麼東西
加上 a
乘以 乘以什麼?
一定是乘以 x 對不對?
2x 乘以 x 是 2x平方
現在這邊還看不太出來我們要怎麼因式分解
現在這邊還看不太出來我們要怎麼因式分解
你可能要把它乘開 之類的
你可能可以用公式解 之類的
當然 這邊用公式解也還滿簡單的 你只要稍微算一下就出來了
當然 這邊用公式解也還滿簡單的 你只要稍微算一下就出來了
當然 這邊用公式解也還滿簡單的 你只要稍微算一下就出來了
但是我們還是稍微試試看能不能掌握到直覺
所以這應該可以分解成 2x 加什麼乘以 x 加什麼
所以這應該可以分解成 2x 加什麼乘以 x 加什麼
如果我們把這個乘開 我們就會得到 2x 乘以 x 等於 2x平方
如果我們把這個乘開 我們就會得到 2x 乘以 x 等於 2x平方
2x 乘以 b 等於正的 2bx a 乘以 x 等於正的 ax
2x 乘以 b 等於正的 2bx a 乘以 x 等於正的 ax
a 乘 b 等於 ab
所以我們來看看我們要什麼
所以我們來看看我們要什麼
所以 2b+ax+ab+2x^2 (2bx)
所以 (2b+a)x+ab+2x^2
OK 現在我們可以對對看
這條是原來的式子
所以2b+a 應該要等於 這一項應該會跟 x 項相等
所以2b+a 應該要等於 這一項應該會跟 x 項相等
這一項應該會跟這邊這一項一樣
這一項應該會跟這邊這一項一樣
所以首先 我這邊是正3
所以 ab 乘起來應該是正3
所以他們要嘛都正 要嘛都負
然後有個有趣的事是 如果我拿兩倍的這個加上另外一個 我會得到一個負數
然後有個有趣的事是 如果我拿兩倍的這個加上另外一個 我會得到一個負數
然後有個有趣的事是 如果我拿兩倍的這個加上另外一個 我會得到一個負數
所以我們算出一個負數 而且我們是拿兩個數加起來
所以我們算出一個負數 而且我們是拿兩個數加起來
一定兩個數都是負數才對
一定兩個數都是負數才對
這告訴我們ab應該都是負數
因為這一項是正的
然後因為你在前面沒有寫任何負號 所以算的時候兩個數都是負數
然後因為你在前面沒有寫任何負號 所以算的時候兩個數都是負數
然後因為你在前面沒有寫任何負號 所以算的時候兩個數都是負數
所以來看看
我們試試看 3 , -3 和 -1
如果 -3 和 -1
所以對 嗯
所以對 嗯
如果 b 等於 -1 然後 a 等於 2 那 2 乘以 -1 等於 -2
如果 b 等於 -1 然後 a 等於 2 那 2 乘以 -1 等於 -2
-3
好 所以 b 會等於 -1 而且 a 等於 -3
這邊就有點藝術性了
我的意思是 這不太是能簡單搞定的 機械性的做出來
我的意思是 這不太是能簡單搞定的 機械性的做出來
公式解也可以做 但是這是最好的辦法
至少 我知道要怎麼不用那也可以做
所以 我們知道 a 和 b 分別是什麼
所以是 2x a是 -3
2x-3 乘上 x+b b是-1
所以這就是因式分解的結果
所以 (2x-3)(x-1) 是哪個呢?
這邊有一個是對的
2x-3
時間差不多了
我們下部影片再見