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這是一個直角三角形
它是直角三角形是因爲它有一個角是90度
或者說它有一個直角
現在我們來看這條最長的邊
你可以把它看作是
直角三角形最長的邊
也可以看作是直角的對邊
總之這條邊我們叫它斜邊
這個名字對於它簡單的概念來說略顯華麗
只不過就是直角三角形的最長邊
或者說是直角的對邊而已
但是這還是有用的 因爲用一個單詞比較簡單
我們不必說"他們說的是這條邊
這條最長的直角的對邊"直接說斜邊就可以了
現在我要做的是證明一個關係
一個非常著名的關係
一個關於直角三角形各邊長度之間的
著名的關係
我們假設邊AC的長度 注意是大寫的A和C
我們假設長度是小寫的a
同時把邊BC的長度稱爲b
我用大寫字母表示點而小寫字母表示長度
最後我們把斜邊的長度
即AB的長度 叫做c
現在我們來看看我們是否能得出a b c之間的關係
在這之前我需要作一條輔助線
或者說輔助線段 在點C和斜邊之間的一條輔助線段
這條輔助線將和斜邊成直角
這並不難 我們準備叫這個點D
D就是輔助線和斜邊的交點
如果這時候你擔心 怎麽作出這條輔助線
你可以想象一下把整個三角形這麽旋轉一下
這對後面的證明沒有作用 但是這能讓你
更直接地作出輔助線
我已經把它轉了過來 現在斜邊
成爲了底邊
這是點B 這是點A
我們已經把三角形轉了過來
上面這個點是C 你可以想象從點C扔一塊石頭
這塊石頭綁在一根繩子上 繩子連在點C 於是
綁線的石頭會和斜邊形成直角
以上所做的都是爲了作出輔助線段CD
垂足就是點D 在這裡
我之所以作這麽一條輔助線是因爲這樣子
我們就可以研究相似三角形的有趣關係了
現在一共有三個三角形 三角形ADC
三角形DBC以及原來的大三角形
我們應該能夠在這些三角形之間建立相似關係
首先我們來證明三角形ADC相似於大三角形
因爲它們都有一個直角
三角形ADC的這個角是直角
如果這個角是90度
那麽這個角一定也是90度
它們是互補的因此它們的度數和必須是180度
所以兩個三角形都有一個直角
小三角形在這裡有一個直角
大三角形顯然我們已知它有一個直角
同時 它們還共有同一個角
角DAC或者角BAC 隨你們怎麽叫它
我們可以把那些三角形寫下來
我從小的開始
三角形ADC 我給它塗上陰影
所以這就是我們要看的三角形 ADC
然後我們一個角一個角來對應從藍色的角 直角
到沒有標記的那個角
這個直角並不對應那邊那個角
這個直角和大三角形的直角對應
所以 我們可以推出三角形ADC
和大三角形相似
我們再在大三角形上對應一次 從藍色角A
到直角
我們不必再去看那個直角
所以三角形ADC相似於三角形ACB
三角形ACB
因爲它們是相似的 所以我們可以建立
它們邊的長度比關係
比如說對應邊的比例
我們知道相似三角形對應邊的
長度的比值
是一個常數
所以我們可以利用這個比值 這個小三角形的斜邊AC
還有大三角形的斜邊
AB
AC比AB的值一定與AD
比上某一條邊的值相等
我們要在相似三角形上取
對應的點和邊
所以是AD比AC
你可以自己看看這些三角形
你會發現 邊AD是藍色角和紅色角
的夾邊
邊AD在這兩個角中間
同時邊AC也在大三角形的藍色角和紅色角
的中間
所以這些邊是大三角形的
而這些是小三角形上的對應邊
如果有點不明白 看它們的標記字母
只要你把相似三角形的字母順序寫對了
你就能找對對應點
AC和大三角形的AB對應
小三角形的AD和大三角形的AC對應
我們已知AC的長度是a
小寫的a
所以a代表AC
我們沒有給AD的長度標字母
但是我們知道AB的長度用c表示
我們沒有表示AD長度的字母
那麽就叫它d
所以d對應著那一段的長度
而c對應這整條斜邊的長度
我們把DB的長度稱爲e
這會讓證明簡潔一些
所以現在AD是d
於是我們得到關係a比c等於d比a
如果我們把等式交叉相乘 a乘以a得到a的平方
a的平方等於c乘以d 也就是cd
這是一個有趣的結果
讓我們來看看我們可以對剩下那個三角形做點什麽
就是這個三角形
同樣地 它有一個直角 大三角形也有一個直角
並且它們在這裡共享同一個角
所以根據相似判定 這兩個三角形
是相似的
也就是說三角形BDC 我們按從粉色的角開始到直角
再到未標記角的順序寫字母
所以三角形BDC相似於大三角形
我們要來觀察大三角形的對應點
我們從粉色角B開始
到直角C再到A
BCA
從粉色角到直角再到未標記角 一樣的順序
和小三角形一樣的順序
現在我們要找一些關係
先來看小三角形的邊BC
BC比上BA
BC比BA
我們還是在比較兩個三角形的斜邊
於是BC比BA等於BD比上另一條邊
讓我換一種顏色 BD是其中一條直角邊
BD在這裡是一條較短的直角邊
找到對應的大三角形的直角邊BC 所以是BD比BC
我們已知BC用字母b表示
BC就是小寫的b
BA是小寫的c
BD根據之前我們定義的是小寫的e
所以這是小寫的e
交叉相乘 這裡是 b乘以b
我在很多影片中提到交叉相乘
兩邊都要乘以相應的分母
所以b乘以b等於ce
現在我們可以做一件有趣的事情
我們把這兩個等式加起來
讓我重新來寫一下
b的平方等於ce
如果我們把左手邊加起來將會得到
b的平方加上a的平方 而它們等於cd加上
ce
右邊兩項有公因式c所以我們把c提出來
所以右邊等於
c乘以d和e的和
給d加e套上括號
結果是什麽
d是這條長度
e是這段長度
d加上e實際上同樣等於c
所以這就成了c
c乘以c得到c的平方
現在我們得到了一個有趣的關係
我們得到a的平方加上b的平方等於c的平方
讓我重新寫一遍
讓我用個新的顏色
剛才不小心刪掉了 現在再寫一遍
所以我們剛才得到了a的平方
加上b的平方等於c的平方
這是一個任意的直角三角形
這兩個小三角形也是任意的
我們剛剛得到了直角邊的平方和
等於斜邊的平方
這大概是數學領域最簡單卻最有名的定理之一
它以畢達哥拉斯的名字命名
不知道他是不是第一個發現這個定理的人
但是這個定理就叫做畢達哥拉斯定理
就是勾股定律
這並不是一切幾何學的基礎但是卻對於
幾何學至關重要
並且它是所有三角運算的基礎
這個定律相當使用因爲當你知道一個直角三角形
的兩邊 你可以輕松得到第三邊