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我的名字叫做Ludwig Schläfli,
我是一位瑞士几何学家。
我生活在19世纪,
我将为你开启四维空间之门!
不用怕,我是一个有远见卓识的人。
我是一个最早理解
多维空间的存在的人,
甚至可以研究其相应的几何学。
如果生活在平面中的生物,
可以理解三维空间中的多面体,
为什么我们就不能理解四维空间中的物体呢?
我的主要成就之一
是列出四维空间里的所有规则多面体。
什么是四维空间呢?
已有很多关于这方面的文献,
科幻小说家们对此总是乐此不疲!
我将在黑板上为你解释它们。
这块黑板将带有一些魔幻色彩。
重要的是,你必须做好准备,
遗忘我们所熟知的世界
并且想像一个我们的视觉与感觉,
都不能直接进入的新世界。
我们必须变得聪明起来,正如之前的蜥蜴一样。
我将攀上一个至高点,
不幸的是,你看不到它。
我会试着把我所看到的描述出来。
但在开始之前,我先在黑板上画出一条直线。
我将原点定在这里。
这条直线上的每一点
都可用它与原点的距离标出,
如果它在(原点)左边,用负号表示
如果它在(原点)右边,则用正号表示。
我们习惯上将这个数字标记为 x ,
并且称之为横坐标。
由于直线上每一点的位置
能用一个数字表示,
我们说直线是一维的。
现在,我将画出第二条轴线,
与第一条轴线垂直。
黑板上的每一点
现由两个数字来描述,
通常记为 x 和 y : 横坐标与纵坐标。
如此平面是二维的。
如果你需要跟直线上的生物解释
平面上它所未知的一点,
你可以简单地说
"平面上的一点由两个已知数组成"。
让我们通向三维空间。
粉笔在空间中
画出第三条轴线,与另外两条垂直。
空间中的一点由三个数字表示,
x , y 和 z 。
我们可以跟对于我们的世界
充满好奇的爬行动物们说
"空间中的一点,不过是三个数字而已"。
让我们通向四维空间。
可以试着画出第四条轴线
与另外三条垂直,但这是不可能的!
所以还要尝试其他方法。
当然,我们也许会说,
四维空间中的一点
只是四个数字,x,y,z,t 。
这并没有给我们带来任何启示!
然而,我们仍将试着对它的几何,
建立某种直觉。
第一种方法,
是类推法。
这里有一条直线,
和一个等边三角形,
接着是一个规则四面体。
魔术黑板能够让我们在空间中绘画。
那么怎样在四维空间中继续呢?
可以看到直线,三角形和四面体,
分别有2个,3个和4个顶点。
因此,可试画有五个顶点的图形。
试试看。
在直线,三角形或四面体中,
每对顶点由一条棱连接。
所以,我们需将5个顶点两两相接。
我们来数数
1条棱
2,3,4,5,6,7,8,9,10 条棱。
在四面体中
每三个顶点间都有一个三角面
我们如法炮制,
于是,可以得到 1 个三角面
2,3,......,10 个三角面。
但是,如果我们用类推法继续,
则必须在每四个顶点之间,
加入一个四面体面。
共有 5 个四面体面。
就是它!我们造出了一个四维物体。
它叫"单形"。
现在让它在空间中转起来,
正如之前转动四面体一样。
当然,你必须想像
单形是在四维空间中转动,
你看到的,只是它在黑板上的投影。
更复杂的是,
面变得混乱起来并且互相交错。
是的,看一个四维物体是需要一点经验的。
我们可以让
在四维空间中的单形
缓慢地穿过
"我们的"三维空间。
正如之前爬行动物看到一个多边形
出现然后消失一样,
我们看到的是一个三维多面体
出现,然后改变形状,最后消失。
好了!单形穿过了我们的三维空间。
我们将看到
更多的四维物体
穿过我们的三维空间。
这是一个超立方体,它是
线段,正方形和立方体的推广。
必须承认,用这种切面方法,
来尝试得到一个几何直觉,是非常困难的。
我发现了二十面体和十二面体的类似物。
它们的名字非常复杂,
我将简单地称它们为 120 号和 600 号,
因为第一个有 120 个面,第二个则有 600 个面。
看 120 号,它正穿过我们的空间。
现在,是 600 号。
当然,当我说四维多面体有 600 个面时,
是指三维的面。
是的,它们是 600 个四面体。
至于 120 号,它有 120 个十二面体!
稍后,我们将看到怎样更好地理解它们。
为了用我们三维的眼睛,
来观察这些四维物体,
我们可以观察它们的阴影。
这些物体仍然在四维空间中
但我们将它投射到三维空间里来
正如一位画家将风景投射到画布上一样。
这正是我们对单形所做过的。
这是一个超立方体。
当然,它在空间里转动
为的是让我们观赏到所有细节。
例如,超立方体有 16 个顶点。
这里有个新来的。
在我的发现中是最美丽的。
我称它为 24 号。
它在三维空间里没有类似物。
它是纯粹的四维物体。
我对它的发现非常自豪。
看,它壮观极了! 24 个顶点,96 条棱,96 个三角形和 24 个八面体。
一个奇迹!
这是 120 号的阴影。
非常雄伟!
必须说,它是个非常复杂的奇观!
让我们进入其中并观察它的构造。
看: 600 个顶点, 1200 条棱。
有 4 条棱从每个顶点出发
一个完全规则的结构。
所有的顶点和棱都扮演着同样的角色。
遗憾的是,投影破坏了它的规则。
试着想像一下,
试想一个在四维空间中的物体,
拥有一个巨大的旋转群,
互换所有的顶点和棱。
冠军是...600 号,
像一个庞大的宏观分子
有 720 条棱和 120 个顶点。
有 12 条棱从每个顶点出发。
但是,我们对四维多面体的探究
并没有就此结束。
因为我敢打赌,它们的球极投影,
肯定会给我们带来一个更新更好的几何直觉。