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看完上一段影片後,希望大家對矩陣的加法有所了解了
下面我們學習如何做矩陣的乘法
要始終牢記,這些矩陣乘法的規則是人爲設定的
我們本可以搞一套與此完全不同的規則
來做矩陣的乘法
但我推薦你們學習這一套方法
因爲它對你們的數學課有幫助
而且以後我們還將看到,實際上
有很多應用都是建立在這一套規則之上的
那麽我們先寫出兩個矩陣
兩個2乘2的矩陣,我們試著將它們相乘
我隨便寫幾個數字:2、負3、7、5
這個矩陣,或者說這個“數字表格”
乘上10、負8——
這裡讓我挑個好數字——12
最後是負2
現在,你們心裏也許有股強烈的願望
你們大概也能猜得到這種願望並不正確
就是像做矩陣加法一樣做矩陣的乘法
把對應位置上的數字相乘就行了
你可能會想:這裡的第一個元素
也就是第1行第1列的這個(1, 1)元素
應該等於2乘以10
而右上角這個元素應該是負3乘以負8,等等
矩陣的加法就是這麽進行的
也許可以自然地類推到乘法
這種想法是合理的
人類本來也可以這樣來定義矩陣的乘法
但現實世界裏並非如此
很不幸,現實世界裏的矩陣乘法要更加複雜
但只要多看一些例題,相信你們就能掌握
而且你們會覺得它其實挺直觀易懂的
那麽究竟該怎麽做呢?
這個第1行第1列的元素實際上等於
這兒的第1個行向量
乘上這一個行向量
這又是什麽意思呢?
看到沒有?
我們從第一個矩陣截取第一個行向量
從第二個矩陣截取第一個行向量
接下來呢?
如果你熟悉點乘的話
實際上第1個元素就等於這兩個向量的點乘
或者咱不說這些花哨的術語
它其實就是——我字寫小點——
2乘以10
加上負3乘以12
這兒快要寫不下了
那麽,這兒的第二個元素是多少呢?
這個元素仍然屬於乘積矩陣的第一行
但是位於第二列了
那麽我們就截取後面這個行向量
讓我們選個好顏色
這個和左邊的有點區別,是紫色的
那麽它就等於——等我把顏色換回來
2乘以負8——我就直接寫結果了
2乘以負8是負16
加上負3乘以負2
負3乘以負2得多少?
正6,對不對?
這就是第1行第2列的元素
它等於負16加6
現在我們計算下面兩個元素
它們都在第二行
所以我們從第一個矩陣截取第二個行向量
我知道這很容易搞糊塗
但我們會看很多例題
相信你們最終一定能理解
所以,左下角的這個元素就等於
黃色的行向量乘上紅色的行向量
即是說7乘以10,也就是70
加上5乘以12,也就是60
右下角的元素就等於
7乘以負8,也就是負56
加上5乘以負2,也就是負10
那麽最終的乘積就是
2乘10等於20,減去36,得到負16
這裡是負16加上6,結果爲10
而這個元素是70加上60,等於130
然後負56減去10,得到負66
這樣,我們就算出了這個矩陣乘以這個矩陣的結果
再來一個例題
這次我左邊寫得緊湊點,好讓右邊的更清楚
我們拿矩陣 1, 2, 3, 4
乘以矩陣 5, 6, 7, 8
這下還剩不少空間,可以把右邊寫得更齊整些
步驟還是一樣的
先計算左上角的這個元素,即第1行第1列這個
從前面這個矩陣截取第一個行向——不好意思
從前面這個矩陣截取第一個行向量
從後面這個矩陣截取第一個行向量
這兩個向量相乘
結果等於1乘以5,加上2乘以7
1乘以5,再加上2乘以7
對不對?就是這樣
而右上角這個元素
就等於這個綠色行向量乘上後面那個行向量
我們換種顏色
也就是1乘以6,加上2乘以8
讓我寫下來:1乘以6,加上2乘以8
接下來我們計算第二行
我們從第一個矩陣截取第二個行向量
我用這種棕色把它圈出來
也就是:3乘以5,加上4乘以7
3乘以5,再加上4乘以7
還剩右下角,即第2行第2列這個元素
所以我們在這裡截取第二個行向量
而在這裡截取第二個行向量
它就等於3乘以6,加上4乘以8
3乘以6,再加上4乘以8
化簡一下,這裡等於5加上——
我們還是先回顧下這些數字是從哪兒來的吧
看到這個綠色圓圈沒有?
綠圈裏的1和2,就是這裡的1和2
以及這裡的1和2
請注意,無論等號左右,它們都位於第一行
而紅圈裏的5和7,就是這個5和這個7
以及這個5、這個7
真有意思,紅圈是第二個矩陣的第一列
而在乘積矩陣裏,也同樣位於第一列
與之類似,藍圈裏的6和8
就是這個6和這個8,以及下面的這組6和8
最後,棕圈裏的3和4
就是這裡的3和4,以及這裡的3和4
當然,我們可以簡化一下
這裡是1乘以5,加上2乘以7
就是5加上14,等於19
這裡是1乘以6,加上2乘以8
就是6加上16,等於22
這裡是3乘以5,加上4乘以7
就是15加上28,即38加5 (看見可汗老師怎麽心算加法了嗎)
結果是43,如果沒算錯的話
最後是3乘以6,加上4乘以8
就是18加上32,也就是50
現在請思考一個問題——
我先把簡化的答案寫下來:19, 22, 43, 50
現在請思考一個問題 :
我們做矩陣的加法時,順序是不重要的
比如A加上B——這倆都是矩陣,所以加粗了
就相當於B加上A
這是基於我們對矩陣加法的定義
現在我想問:在做矩陣乘法時
“A乘以B” 和 “B乘以A” 是一回事嗎?
矩陣乘法裏,順序重要嗎?
這裡我告訴大家,順序至關重要
實際上,有些矩陣只能以特定的順序相乘
調換一下順序,它們就不能相乘了
我以後會給出相應的例題
但現在請記住一點,"A乘以B" 多數時候不等於 "B乘以A"
我建議你們試著用矩陣5, 6, 7, 8 乘以矩陣1, 2, 3, 4
還是我來演示一下吧
我快速地演示一遍,以證明上述的論點
先把上面的擦掉
這一塊也可以擦掉
只要記住,前面這個乘以後面這個
結果等於下面這個矩陣
現在調換順序——我會算得很快,免得你們覺得無趣
我們把兩個矩陣的順序顛倒
也算是又一道例題,這樣挺好
即是矩陣5, 6, 7, 8 乘以前面這個矩陣
我僅僅顛倒兩者的順序
來看看順序到底重要不重要
另一個矩陣是1, 2, 3, 4
這次我不會用線圈去指示了,直接計算
我想你們已經看了足夠多的示例了
第一個元素,等於前者的第一行乘以後者的第一列
也就是5乘以1,加上6乘以3
5乘以1——我們跳過算式,直接寫結果吧
也就是5,加上6乘以3,就是18
這裡的第二個元素是多少呢?
應該等於5乘以2,加上6乘以4
5乘以2得10,加上六四得24
就是用這一行乘以這一列
好,來計算剩下的一行
左下角的這個元素應該等於
這一行乘以這一列
就是7乘以1,加上三八得24
最後,求右下角的元素
只要拿這一行乘以後面這一列
就是7乘以2,得到14
再加上8乘以4,也就是32
那麽最後的結果等於
5加18等於23, 這裡是34
7加24得31, 最後是46
請注意,如果我們把這個矩陣稱爲A
這個稱爲B,看到沒有?
前一個例題,我們求出了A乘以B
它等於矩陣19, 22, 43, 50
而我們剛剛看到,如果順序顛倒
B乘以A的結果是完全不同的矩陣
所以矩陣乘法裏,順序至關重要
這段影片就快結束了
下一課我會講講矩陣的類型——
我們已經知道,矩陣乘法裏,順序很重要
而下一課,我會講講哪些類型的矩陣能夠相乘
做矩陣的加減法時,需要前後矩陣的維度相同
因爲我們要拿對應位置的數字做運算
然而你們將看到,矩陣乘法有些不同
我們會在下段影片學到
再會