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看完上一段视频后,希望大家对矩阵的加法有所了解了
下面我们学习如何做矩阵的乘法
要始终牢记,这些矩阵乘法的规则是人为设定的
我们本可以搞一套与此完全不同的规则
来做矩阵的乘法
但我推荐你们学习这一套方法
因为它对你们的数学课有帮助
而且以后我们还将看到,实际上
有很多应用都是建立在这一套规则之上的
那么我们先写出两个矩阵
两个2乘2的矩阵,我们试着将它们相乘
我随便写几个数字:2、负3、7、5
这个矩阵,或者说这个“数字表格”
乘上10、负8——
这里让我挑个好数字——12
最后是负2
现在,你们心里也许有股强烈的愿望
你们大概也能猜得到这种愿望并不正确
就是像做矩阵加法一样做矩阵的乘法
把对应位置上的数字相乘就行了
你可能会想:这里的第一个元素
也就是第1行第1列的这个(1, 1)元素
应该等于2乘以10
而右上角这个元素应该是负3乘以负8,等等
矩阵的加法就是这么进行的
也许可以自然地类推到乘法
这种想法是合理的
人类本来也可以这样来定义矩阵的乘法
但现实世界里并非如此
很不幸,现实世界里的矩阵乘法要更加复杂
但只要多看一些例题,相信你们就能掌握
而且你们会觉得它其实挺直观易懂的
那么究竟该怎么做呢?
这个第1行第1列的元素实际上等于
这儿的第1个行向量
乘上这一个列向量
这又是什么意思呢?
看到没有?
我们从第一个矩阵截取第一个行向量
从第二个矩阵截取第一个列向量
接下来呢?
如果你熟悉点乘的话
实际上第1个元素就等于这两个向量的点乘
或者咱不说这些花哨的术语
它其实就是——我字写小点——
2乘以10
加上负3乘以12
这儿快要写不下了
那么,这儿的第二个元素是多少呢?
这个元素仍然属于乘积矩阵的第一行
但是位于第二列了
那么我们就截取后面这个列向量
让我们选个好颜色
这个和左边的有点区别,是紫色的
那么它就等于——等我把颜色换回来
2乘以负8——我就直接写结果了
2乘以负8是负16
加上负3乘以负2
负3乘以负2得多少?
正6,对不对?
这就是第1行第2列的元素
它等于负16加6
现在我们计算下面两个元素
它们都在第二行
所以我们从第一个矩阵截取第二个行向量
我知道这很容易搞糊涂
但我们会看很多例题
相信你们最终一定能理解
所以,左下角的这个元素就等于
黄色的行向量乘上红色的列向量
即是说7乘以10,也就是70
加上5乘以12,也就是60
右下角的元素就等于
7乘以负8,也就是负56
加上5乘以负2,也就是负10
那么最终的乘积就是
2乘10等于20,减去36,得到负16
这里是负16加上6,结果为10
而这个元素是70加上60,等于130
然后负56减去10,得到负66
这样,我们就算出了这个矩阵乘以这个矩阵的结果
再来一个例题
这次我左边写得紧凑点,好让右边的更清楚
我们拿矩阵 1, 2, 3, 4
乘以矩阵 5, 6, 7, 8
这下还剩不少空间,可以把右边写得更齐整些
步骤还是一样的
先计算左上角的这个元素,即第1行第1列这个
从前面这个矩阵截取第一个行向——不好意思
从前面这个矩阵截取第一个行向量
从后面这个矩阵截取第一个列向量
这两个向量相乘
结果等于1乘以5,加上2乘以7
1乘以5,再加上2乘以7
对不对?就是这样
而右上角这个元素
就等于这个绿色行向量乘上后面那个列向量
我们换种颜色
也就是1乘以6,加上2乘以8
让我写下来:1乘以6,加上2乘以8
接下来我们计算第二行
我们从第一个矩阵截取第二个行向量
我用这种棕色把它圈出来
也就是:3乘以5,加上4乘以7
3乘以5,再加上4乘以7
还剩右下角,即第2行第2列这个元素
所以我们在这里截取第二个行向量
而在这里截取第二个列向量
它就等于3乘以6,加上4乘以8
3乘以6,再加上4乘以8
化简一下,这里等于5加上——
我们还是先回顾下这些数字是从哪儿来的吧
看到这个绿色圆圈没有?
绿圈里的1和2,就是这里的1和2
以及这里的1和2
请注意,无论等号左右,它们都位于第一行
而红圈里的5和7,就是这个5和这个7
以及这个5、这个7
真有意思,红圈是第二个矩阵的第一列
而在乘积矩阵里,也同样位于第一列
与之类似,蓝圈里的6和8
就是这个6和这个8,以及下面的这组6和8
最后,棕圈里的3和4
就是这里的3和4,以及这里的3和4
当然,我们可以简化一下
这里是1乘以5,加上2乘以7
就是5加上14,等于19
这里是1乘以6,加上2乘以8
就是6加上16,等于22
这里是3乘以5,加上4乘以7
就是15加上28,即38加5 (看见可汗老师怎么心算加法了吗)
结果是43,如果没算错的话
最后是3乘以6,加上4乘以8
就是18加上32,也就是50
现在请思考一个问题——
我先把简化的答案写下来:19, 22, 43, 50
现在请思考一个问题 :
我们做矩阵的加法时,顺序是不重要的
比如A加上B——这俩都是矩阵,所以加粗了
就相当于B加上A
这是基于我们对矩阵加法的定义
现在我想问:在做矩阵乘法时
“A乘以B” 和 “B乘以A” 是一回事吗?
矩阵乘法里,顺序重要吗?
这里我告诉大家,顺序至关重要
实际上,有些矩阵只能以特定的顺序相乘
调换一下顺序,它们就不能相乘了
我以后会给出相应的例题
但现在请记住一点,"A乘以B" 多数时候不等于 "B乘以A"
我建议你们试着用矩阵5, 6, 7, 8 乘以矩阵1, 2, 3, 4
还是我来演示一下吧
我快速地演示一遍,以证明上述的论点
先把上面的擦掉
这一块也可以擦掉
只要记住,前面这个乘以后面这个
结果等于下面这个矩阵
现在调换顺序——我会算得很快,免得你们觉得无趣
我们把两个矩阵的顺序颠倒
也算是又一道例题,这样挺好
即是矩阵5, 6, 7, 8 乘以前面这个矩阵
我仅仅颠倒两者的顺序
来看看顺序到底重要不重要
另一个矩阵是1, 2, 3, 4
这次我不会用线圈去指示了,直接计算
我想你们已经看了足够多的示例了
第一个元素,等于前者的第一行乘以后者的第一列
也就是5乘以1,加上6乘以3
5乘以1——我们跳过算式,直接写结果吧
也就是5,加上6乘以3,就是18
这里的第二个元素是多少呢?
应该等于5乘以2,加上6乘以4
5乘以2得10,加上六四得24
就是用这一行乘以这一列
好,来计算剩下的一行
左下角的这个元素应该等于
这一行乘以这一列
就是7乘以1,加上三八得24
最后,求右下角的元素
只要拿这一行乘以后面这一列
就是7乘以2,得到14
再加上8乘以4,也就是32
那么最后的结果等于
5加18等于23, 这里是34
7加24得31, 最后是46
请注意,如果我们把这个矩阵称为A
这个称为B,看到没有?
前一个例题,我们求出了A乘以B
它等于矩阵19, 22, 43, 50
而我们刚刚看到,如果顺序颠倒
B乘以A的结果是完全不同的矩阵
所以矩阵乘法里,顺序至关重要
这段视频就快结束了
下一课我会讲讲矩阵的类型——
我们已经知道,矩阵乘法里,顺序很重要
而下一课,我会讲讲哪些类型的矩阵能够相乘
做矩阵的加减法时,需要前后矩阵的维度相同
因为我们要拿对应位置的数字做运算
然而你们将看到,矩阵乘法有些不同
我们会在下段视频学到
再会