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比如說有一個向量集合――
線條有些粗了
其中一個向量是[2,3]
另一個向量是[4,6]
我要解決問題:
這兩個向量張成的空間是什麽?
先假設它們是位置向量
這兩個向量
所能表示出的向量是什麽?
觀察這兩個向量
它們張成的空間就是
能用二者的線性組合表示的
所有向量的集合
所以它就是向量的集合
如果有一個常數
乘以這個向量
再加上另一個常數乘以這個向量
當我將c1和c2
分別賦予實數值時
就得到了所有能夠表示的向量的集合
你很快會意識到
第二個向量
它就等於2乘以第一個向量
所以我可以把它寫成下面的形式
可以寫成c1乘以向量[2,3]
加上c2乘以――
這裡不寫成[4,6]
而是寫成2乘以向量[2,3]
因爲這個向量就是第一個向量的2倍
所以可以寫成c2乘以2乘以[2,3]
我想你應當能看出它等價於[4,6]
22等於4
23等於6
然後可以做一下化簡
可以寫成c1+2c2
整體乘以[2,3]
這是任意的常數
它是某個常數
加上2乘以另一個常數
我們不妨就寫成c3乘以向量[2,3]
在這種情況下
即使我們從兩個向量出發
我說過
這兩個向量張成的空間
等於這兩個向量
構成的線性組合
二者的任何線性組合
如果用這裡的替換
結果就退化爲第一個向量的常數倍
我也可以用另一種方式
我也可以令第一個向量
爲後者的1/2
然後寫成第二個向量的
常數倍的形式
事實上 我們可以避免考慮
兩個向量的線性組合
而簡單地考慮
其中一個向量的數乘組合
我們曾學過R2中向量的數乘組合
特別當其爲位置向量的時候
比如 對於向量[2,3]
向量[2,3]
它像這樣
它的數乘組合
沿著這條直線
向量[2,3] 延伸到這裡
它們必定沿著這條直線
無限地像兩邊延伸出去
如果取負的向量[2,3]
就先下延伸
如果取正值 則向上延伸
取的值越大
延伸的越遠
我可以表示出這些向量
當它們是標準形式的時候
它們的箭頭方向是一直沿著這條直線的
所以說這些向量張成的空間――
我寫在這
向量[2,3]和[4,6]張成的空間
就是這條直線
即使已知兩個向量
但是它們本質上是共線的
它們是倍數關係
向量[2,3]和[4,6]在這個位置
[4,6]是那個較長的
它們共線
這兩個向量共線
這樣的話
當我們已知R2中兩個共線的向量時
本質上 它們張成的空間退化成一條直線
你不能夠表示出這樣的向量――
我換一種顏色
你不能夠用這兩個向量的線性組合
表示出這個向量
你無法表示出這條直線外的向量
你不可能
表示出R2中所有的向量
所以說張成的空間就是這條直線
一個與之有關的概念是
注意 已知兩個向量
但是當考慮其線性組合時
它們退化成一個向量
一個相關的概念是――
稱這兩個向量是線性相關的
我寫下來:線性相關
這是一個線性相關的集合
線性相關意味著
集合中的一個向量
可以由集合中的其他向量的組合
表示而成
關於這個概念的一種考慮方式是
不論你選擇了什麽向量
都不會新增定向
或者其他信息
這種情況下
我們已知了這個方向的一個向量
當加入向量[4,6]時
還是沿著相同的方向 只是進行了放大
其規模並未增加
我們仍未超出這條直線
可以推想在三維空間中
如果已知這個向量
以及另外一個向量
二者不共線
它們構成了
一個二維空間
它們能夠定義一個二維空間
我們稱這個平面
是由這兩個向量定義的
爲了定義R3 集合中的第三個向量
不能與前兩個共面 對嗎?
如果第三個向量與前兩個共面
則不會新增定向
從而這三個向量構成的集合
是線性相關的
另一種考慮方式是
這兩個紫色的向量張成了這個平面
張成了它們定義的這個平面
這個平面中的任何方向的任何向量――
對於平面中的任何向量 當把它張成空間時
這意味著任何向量都可以
由這兩個向量的線性組合表出
就是說如果這個向量在這個平面上
它就可以由這兩個向量的
線性組合表出
我後加入的這個綠色的向量
對於向量集合張成的空間並沒有貢獻
這是因爲這是一個線性相關的集合
這個向量可以用
這兩個向量的線性組合表出
因爲這兩個向量張成了這個平面
爲了使這三個向量
能夠構成三維空間R3
則第三個向量必須不在這個平面上
它需要沖出這個平面
如果一個向量不在這個平面上
這說明該向量
不能由平面上的任何向量表出
所以它不能有這兩個向量表出
由於它在平面外
所以它不能由二者的線性組合表出
如果已知這個向量
這個向量 和這個向量
僅需要這三個向量
我不再需要其他的向量
它們是線性獨立的
我再多舉幾個例子
上一個有些太抽象了
例如 已知向量[2,3]
向量[7,2] 和向量[9,5]
我要問
這三個向量是否線性相關?
乍一看 你可能會說這不難
這個向量不是那個向量的倍數
它不是其他兩個
向量的倍數
也許他們是線性獨立的
但是如果你仔細觀察
就會發現
稱其爲向量v1 加上向量v2
如果稱它是v2 結果就等於v3
所以說v3是v1和v2的
線性組合
所以說它們是線性相關的
我們在二維空間中把它畫出來
這是一個一般性的概念――
我在R2中作圖
這個一般性的概念是
如果已知二維空間中的三個向量
其中有一個一定是多余的
其中的一個向量一定是多余的
例如 先畫出向量[2,3]
這是第一個向量
我化成標準形式
然後再畫向量[7,2]
可以推出
R2中的任何一點
都可以由這兩個向量的線性組合表出
我們可以通過畫圖說明
我在之前的影片中講過了
我可以寫出
v1和v2張成的空間就是R2
這意味著
這裡的每一個點
都可以由二者的線性組合表出
向量[9,5]在R2中
它在R2中 對嗎?
顯然
我剛剛在平面上畫出來
它在二維實空間中
我們可以稱之爲空間R2
它在這裡 就在這裡
我剛才講過R2中的任何點
都可以由二者的線性組合表出
顯然它在空間R2中
所以它可以被線性表出
我希望大家
已經能夠體會出
張成空間和線性相關性之間的關係
我再舉一個例子
假設已知向量―― 我換一種顏色
假設已知向量――
這個有些簡單―― 向量[7,0]
這是向量v1
第二個向量是[0,-1]
這是v2
現在這個集合線性獨立嗎?
它們線性獨立嗎?
我是否可以將其中一個向量
用另一個的組合表示出來?
當我提到組合的時候就意味著
要通過將一個向量伸縮來得到另一個
因爲這裡僅有兩個向量
如果要將這個向量加起來
我能做的僅僅是處理這個向量
所以能做的就是將它伸縮
別無他法
無論怎麽對這個向量加倍
即乘以一個常數並與自身相加 或是進行伸縮
這一項始終是0
它總是0
所以無論乘以什麽
我都得不到這個向量
同樣地 無論對這個向量乘以什麽
上面這項始終是0
所以也無法得到這個向量
因此對於這兩個向量
無法用其中一個
表示出另一個
故二者是線性獨立的
這通過作圖也能看出來
一個是[7,0] 就像這樣
我不用黃色的來畫
向量[7,0]
另一個是向量[0,-1]
我想你應該知道
如果取二者的線性組合
就能夠表示出R2中的所有點
所以二者張成的空間
用熟悉的記號span(v1,v2)=R2
這是另一個有趣的例子
我講過v1和v2張成的空間是R2
那麽在這個例子中
v1 v2和v3張成的空間是什麽?
我已經告訴過你了
我講過第三個向量
可以由這兩個向量的線性組合表出
實際上就是二者之和
我可以在這畫出來
就是這兩個向量的加和
顯然它可以
由這兩個向量的線性組合表出
它張成的空間是什麽?
我們說第三個向量是多余的
意味著它對張成的空間沒有改變
它沒有改變所有可能的線性組合
所以張成的線性空間還是R2
它對張成的空間R2
是多余的
R2是二維空間
只需要兩個向量即可
這是提供基底的
最有效的方法
其實我還沒正式定義基底
但我想提前使用這個概念
當你學過定義之後
自然就會明白
這兩個向量是很好的基底
剛好可以表示出空間R2
並且沒有多余向量
而這裡這個向量是多余的
所以這對於R2不是一個好的基底
我再舉一個三維空間的例子
在下一個影片裏
我會給出關於
線性相關和線性獨立的準確定義
假設已知向量[2,0,0]
我與上面這個例子保持一致:
已知向量[2,0,0]
向量[0,1,0]
以及向量[0,0,7]
它們都在R3中 對嗎?
它們都是三維向量
那麽它們是線性相關
還是線性獨立呢?
抱歉 它們是線性相關還是無關呢?
顯然 我們不可能
用這兩個向量的線性組合
來表示出
第三個向量 對嗎?
因爲不論我對這兩個向量乘以多少
最後一項總是0
所以說第三個向量爲向量集合
增加了一個新的定向
同樣地 我不能――
通過這兩個向量的組合
也不能表示出這個中間是非0的向量
最後 也不能用這兩個向量
表示出這一項
所以說這個集合是線性獨立的
如果要在三維空間中作圖
你會看到――
這三個向量不在同一平面內
顯然 它們中的任兩個共面
如果把它們畫出來
比如這是x軸
它是[2,0,0]
然後是[0,1,0]
它可能是y軸
然後是[0,0,7]
就像這樣
它們看起來像是三個坐標軸
就像向量i j k一樣
就是進行了一些伸縮
但是你可以通過伸縮
將它們修正回去
因爲我們關心它們的線性組合
那麽對於這三個向量張成的線性空間就是R3
因爲三者每個都加入了一個性定向
我想本節課就到這了
我意識到影片做的有些過長了
我需要將
影片時間縮短一下
在下節課
我會給出線性相關的嚴格定義
並舉一些例子