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比如说有一个向量集合――
线条有些粗了
其中一个向量是[2,3]
另一个向量是[4,6]
我要解决问题:
这两个向量张成的空间是什么?
先假设它们是位置向量
这两个向量
所能表示出的向量是什么?
观察这两个向量
它们张成的空间就是
能用二者的线性组合表示的
所有向量的集合
所以它就是向量的集合
如果有一个常数
乘以这个向量
再加上另一个常数乘以这个向量
当我将c1和c2
分别赋予实数值时
就得到了所有能够表示的向量的集合
你很快会意识到
第二个向量
它就等于2乘以第一个向量
所以我可以把它写成下面的形式
可以写成c1乘以向量[2,3]
加上c2乘以――
这里不写成[4,6]
而是写成2乘以向量[2,3]
因为这个向量就是第一个向量的2倍
所以可以写成c2乘以2乘以[2,3]
我想你应当能看出它等价于[4,6]
2*2等于4
2*3等于6
然后可以做一下化简
可以写成c1+2*c2
整体乘以[2,3]
这是任意的常数
它是某个常数
加上2乘以另一个常数
我们不妨就写成c3乘以向量[2,3]
在这种情况下
即使我们从两个向量出发
我说过
这两个向量张成的空间
等于这两个向量
构成的线性组合
二者的任何线性组合
如果用这里的替换
结果就退化为第一个向量的常数倍
我也可以用另一种方式
我也可以令第一个向量
为后者的1/2
然后写成第二个向量的
常数倍的形式
事实上 我们可以避免考虑
两个向量的线性组合
而简单地考虑
其中一个向量的数乘组合
我们曾学过R2中向量的数乘组合
特别当其为位置向量的时候
比如 对于向量[2,3]
向量[2,3]
它像这样
它的数乘组合
沿着这条直线
向量[2,3] 延伸到这里
它们必定沿着这条直线
无限地像两边延伸出去
如果取负的向量[2,3]
就先下延伸
如果取正值 则向上延伸
取的值越大
延伸的越远
我可以表示出这些向量
当它们是标准形式的时候
它们的箭头方向是一直沿着这条直线的
所以说这些向量张成的空间――
我写在这
向量[2,3]和[4,6]张成的空间
就是这条直线
即使已知两个向量
但是它们本质上是共线的
它们是倍数关系
向量[2,3]和[4,6]在这个位置
[4,6]是那个较长的
它们共线
这两个向量共线
这样的话
当我们已知R2中两个共线的向量时
本质上 它们张成的空间退化成一条直线
你不能够表示出这样的向量――
我换一种颜色
你不能够用这两个向量的线性组合
表示出这个向量
你无法表示出这条直线外的向量
你不可能
表示出R2中所有的向量
所以说张成的空间就是这条直线
一个与之有关的概念是
注意 已知两个向量
但是当考虑其线性组合时
它们退化成一个向量
一个相关的概念是――
称这两个向量是线性相关的
我写下来:线性相关
这是一个线性相关的集合
线性相关意味着
集合中的一个向量
可以由集合中的其他向量的组合
表示而成
关于这个概念的一种考虑方式是
不论你选择了什么向量
都不会新增定向
或者其他信息
这种情况下
我们已知了这个方向的一个向量
当加入向量[4,6]时
还是沿着相同的方向 只是进行了放大
其规模并未增加
我们仍未超出这条直线
可以推想在三维空间中
如果已知这个向量
以及另外一个向量
二者不共线
它们构成了
一个二维空间
它们能够定义一个二维空间
我们称这个平面
是由这两个向量定义的
为了定义R3 集合中的第三个向量
不能与前两个共面 对吗?
如果第三个向量与前两个共面
则不会新增定向
从而这三个向量构成的集合
是线性相关的
另一种考虑方式是
这两个紫色的向量张成了这个平面
张成了它们定义的这个平面
这个平面中的任何方向的任何向量――
对于平面中的任何向量 当把它张成空间时
这意味着任何向量都可以
由这两个向量的线性组合表出
就是说如果这个向量在这个平面上
它就可以由这两个向量的
线性组合表出
我后加入的这个绿色的向量
对于向量集合张成的空间并没有贡献
这是因为这是一个线性相关的集合
这个向量可以用
这两个向量的线性组合表出
因为这两个向量张成了这个平面
为了使这三个向量
能够构成三维空间R3
则第三个向量必须不在这个平面上
它需要冲出这个平面
如果一个向量不在这个平面上
这说明该向量
不能由平面上的任何向量表出
所以它不能有这两个向量表出
由于它在平面外
所以它不能由二者的线性组合表出
如果已知这个向量
这个向量 和这个向量
仅需要这三个向量
我不再需要其他的向量
它们是线性无关的
我再多举几个例子
上一个有些太抽象了
例如 已知向量[2,3]
向量[7,2] 和向量[9,5]
我要问
这三个向量是否线性相关?
乍一看 你可能会说这不难
这个向量不是那个向量的倍数
它不是其他两个
向量的倍数
也许他们是线性无关的
但是如果你仔细观察
就会发现
称其为向量v1 加上向量v2
如果称它是v2 结果就等于v3
所以说v3是v1和v2的
线性组合
所以说它们是线性相关的
我们在二维空间中把它画出来
这是一个一般性的概念――
我在R2中作图
这个一般性的概念是
如果已知二维空间中的三个向量
其中有一个一定是多余的
其中的一个向量一定是多余的
例如 先画出向量[2,3]
这是第一个向量
我化成标准形式
然后再画向量[7,2]
可以推出
R2中的任何一点
都可以由这两个向量的线性组合表出
我们可以通过画图说明
我在之前的视频中讲过了
我可以写出
v1和v2张成的空间就是R2
这意味着
这里的每一个点
都可以由二者的线性组合表出
向量[9,5]在R2中
它在R2中 对吗?
显然
我刚刚在平面上画出来
它在二维实空间中
我们可以称之为空间R2
它在这里 就在这里
我刚才讲过R2中的任何点
都可以由二者的线性组合表出
显然它在空间R2中
所以它可以被线性表出
我希望大家
已经能够体会出
张成空间和线性相关性之间的关系
我再举一个例子
假设已知向量―― 我换一种颜色
假设已知向量――
这个有些简单―― 向量[7,0]
这是向量v1
第二个向量是[0,-1]
这是v2
现在这个集合线性无关吗?
它们线性无关吗?
我是否可以将其中一个向量
用另一个的组合表示出来?
当我提到组合的时候就意味着
要通过将一个向量伸缩来得到另一个
因为这里仅有两个向量
如果要将这个向量加起来
我能做的仅仅是处理这个向量
所以能做的就是将它伸缩
别无他法
无论怎么对这个向量加倍
即乘以一个常数并与自身相加 或是进行伸缩
这一项始终是0
它总是0
所以无论乘以什么
我都得不到这个向量
同样地 无论对这个向量乘以什么
上面这项始终是0
所以也无法得到这个向量
因此对于这两个向量
无法用其中一个
表示出另一个
故二者是线性无关的
这通过作图也能看出来
一个是[7,0] 就像这样
我不用黄色的来画
向量[7,0]
另一个是向量[0,-1]
我想你应该知道
如果取二者的线性组合
就能够表示出R2中的所有点
所以二者张成的空间
用熟悉的记号span(v1,v2)=R2
这是另一个有趣的例子
我讲过v1和v2张成的空间是R2
那么在这个例子中
v1 v2和v3张成的空间是什么?
我已经告诉过你了
我讲过第三个向量
可以由这两个向量的线性组合表出
实际上就是二者之和
我可以在这画出来
就是这两个向量的加和
显然它可以
由这两个向量的线性组合表出
它张成的空间是什么?
我们说第三个向量是多余的
意味着它对张成的空间没有改变
它没有改变所有可能的线性组合
所以张成的线性空间还是R2
它对张成的空间R2
是多余的
R2是二维空间
只需要两个向量即可
这是提供基底的
最有效的方法
其实我还没正式定义基底
但我想提前使用这个概念
当你学过定义之后
自然就会明白
这两个向量是很好的基底
刚好可以表示出空间R2
并且没有多余向量
而这里这个向量是多余的
所以这对于R2不是一个好的基底
我再举一个三维空间的例子
在下一个视频里
我会给出关于
线性相关和线性无关的准确定义
假设已知向量[2,0,0]
我与上面这个例子保持一致:
已知向量[2,0,0]
向量[0,1,0]
以及向量[0,0,7]
它们都在R3中 对吗?
它们都是三维向量
那么它们是线性相关
还是线性无关呢?
抱歉 它们是线性相关还是无关呢?
显然 我们不可能
用这两个向量的线性组合
来表示出
第三个向量 对吗?
因为不论我对这两个向量乘以多少
最后一项总是0
所以说第三个向量为向量集合
增加了一个新的定向
同样地 我不能――
通过这两个向量的组合
也不能表示出这个中间是非0的向量
最后 也不能用这两个向量
表示出这一项
所以说这个集合是线性无关的
如果要在三维空间中作图
你会看到――
这三个向量不在同一平面内
显然 它们中的任两个共面
如果把它们画出来
比如这是x轴
它是[2,0,0]
然后是[0,1,0]
它可能是y轴
然后是[0,0,7]
就像这样
它们看起来像是三个坐标轴
就像向量i j k一样
就是进行了一些伸缩
但是你可以通过伸缩
将它们修正回去
因为我们关心它们的线性组合
那么对于这三个向量张成的线性空间就是R3
因为三者每个都加入了一个性定向
我想本节课就到这了
我意识到视频做的有些过长了
我需要将
视频时间缩短一下
在下节课
我会给出线性相关的严格定义
并举一些例子