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你知道下面兩個數字的差異
0.0000000398
和 0.00000000398
會導致有人游泳後眼睛變紅嗎?
要回答之前,我們先要有個方法
來處理很小或很大的數字
這帶出了「對數」的觀念 (log 也有「木材」的意思)
嗯,什麼是對數?
我們把 b 當作底數 然後取它的 p 次方
就像 2 的 3 次方那樣
結果等於數字 n
就得到一個指數方程式: b 的 p 次方等於 n
在這個例子裡,就是 2 的 3 次方等於 8
我們就說 n 的對數是 p
通常我們會寫作 log 以 b 為底數的 n 等於 p
這堆變數讓人開始頭昏眼花了
我們用個例子來解釋
以 10 為底 10,000 的對數是多少?
這問題也可以用指數的方式來問
10 的幾次方是 10,000?
嗯,10 的 4 次方是 10,000 因此以 10 為底 10,000 的對數
就是 4
這個例子也可以很簡單的 用工程計算機來算
以 10 為底的對數 在科學裡太常用了
所以很光榮 大多數計算機都有這個按鈕
如果計算機可以幫我算對數
那我幹嘛學?
這要提醒一下 對數按鈕只能算以 10 為底的對數
如果你想進入電腦科學的世界 用到以 2 為底的對數怎麼辦?
比如說以 2 為底 64 的對數是多少?
換句話說, 2 的幾次方是 64?
嗯,用手指數一下 2, 4, 8, 16, 32, 64
以 2 為底,64 的對數就是 6
這跟游泳後,只在某些泳池
我的眼睛會變紅,有什麼關係?
這就關係到 對數在化學裡的妙用了:
計算溶液的 pH 值
pH 值會告訴我們溶液的酸鹼性
公式是 pH = - log 10 [H+]
其中 [H+] 是氫離子濃度
我們可以輕易用計算機算出 氫離子濃度
0.0000000398
和 0.00000000398
的 pH 值。按下去:
這兩個數取對數再加負號 你會得到 pH 值是 7.4 和 8.4
因為淚水的 pH 值大約是 7.4
所以氫離子濃度是 7 個 0 及 398 的溶液,對我們眼睛剛剛好
但 pH 8.4 就會讓你又紅又癢
對數很好記: 以 b 為底 n 的對數是 p
相當於在想: 「b 的幾次方會是 n?」
「b 的幾次方會是 n?」 「b 的幾次方會是 n?」
所以現在你了解到對數的威力
在於處理很大或很小的數字
對數甚至可在游泳後取代眼藥水!