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什麼是證明?
而為什麼證明在數學中 是如此重要?
證明提供一個穩固的基礎給
數學家、邏輯學家、統計學家、 經濟學家、建築師、工程師、
還有許多其它人,讓他們得以在這基礎上 建立並測試他們的理論。
這簡直棒極了!
讓我從頭說起。
我將介紹一個人,他叫做歐基里得。
就像是「就看你的了,寶貝」的那位。 (北非諜影臺詞;寶貝英文音似基里得)
他生活在約 2300年前的希臘,
而大多數人認為他是幾何學之父。
所以如果身為幾何粉絲的你 在猶豫粉絲郵件要送到哪的話,
對於證明來說,亞歷山卓的歐基里得 就是那位該感謝的人。
歐基里得並不真的是以 創造、發現大量數學而聞名,
但是他改革了 數學寫作、表述、及思考的方法。
但是他改革了 數學寫作、表述、及思考的方法。
歐基里得藉由訂定遊戲規則 來將數學公式化、條理化。
這些規則被叫做公理。
只要有了規則,
歐基里得說你必須用這些規則 來證明你想的是對的。
如果你沒辦法做到,那麼你所想的定理
就有可能是錯的。
而如果你的定理是錯的,那任何隨之而來的定理
同樣也有可能是錯的。
就像是一個錯位的橫樑 可以弄垮整棟房子一樣。
所以整個證明的過程就是:
利用完善的規則,合理地證明 某些定理是正確的。
接著把定理當做積木般
來建造數學。
我們來看看一個例子。
假設我們想要證明這兩個三角形
大小一樣、形狀也一樣。
換句話說,他們是全等的。
嗯,一個辦法是寫一段證明
來說明一個三角形的三條邊
和另一個三角形的三條邊 分別都等長。
所以要怎麼做?
首先,我會寫下我們所知道的。
我們知道 M點 是 AB邊 的中點。
我們也知道 AC邊 和 BC邊 本來就等長。
現在咱們看看。這個中點可以告訴我們什麼?
幸運地,我知道中點的定義。
基本上它就是正中央的那點。
它的意思就是 AM邊 和 BM邊 的長度相同,
因為 M點 位在 AB邊 的正中間。
也就是說,我們考慮的三角形 的兩個底邊是等長的。
我會把這當做第二步。
太棒了!目前為止我已經有兩組邊等長。
最後一步是簡單的。
左邊三角形的第三邊
是 CM邊,而右邊三角形的第三邊是……
對,也是 CM邊。
他們共用這條邊。
當然和自己等長!
這個叫做「反身性」。
就是說每條邊都和自己等長。
我把這當做第三步。
噠啦!你已經證明左邊三角形的三條邊
和右邊三角形的完全等長。
附帶地,兩個三角形會全等
是由於有三角形 SSS 全等性質。
當完成了一段證明,我喜歡做件 歐基里得會做的事。
他用字母 QED 來標記一段證明的結尾。
這表示拉丁話「quod erat demonstrandum」,
字面上的意思就是
「這就是所要證明的」。
但是我只把它想成是: 瞧瞧我做了什麼!
我可以聽見你正在想什麼:
為什麼我要學證明?
一個理由是證明可以讓你 在爭論中獲勝。
亞伯拉罕.林肯,一位美國整個時期 最偉大的領導者
習慣放一本歐基里得的《幾何原本》 在他的桌邊
來讓他的思考有條理。
另一個理由是你可以賺到一百萬美元。
你沒聽錯。
一百萬美元。
這是麻州克雷數學研究所 所提出的價格,
將付給任何解出 某些未知猜想的人,
這些猜想被稱作「千禧年大獎難題」。
其中有一些 已經在 1990 及 2000 年代被解決了。
但是超乎錢金和爭論的是,
證明無所不在。
它們潛藏在建築、藝術、程式設計、 以及網路安全之中。
如果都沒人了解、或是有辦法證明,
我們將無法在這些重要領域中進步。
最後,我們都知道證明藏在布丁裡。 (美國諺語:表示布丁好吃的證明要吃了才知道。)
而布丁是美味的。QED。