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JAMES GRIME: 我們Numberphile經常收到這個問題
就是今天的題目
Brady,那他們想問的是?
BRADY HARAN: 他們問:「爲什麼0的階乘是1?」
JAMES GRIME: 對
爲什麼0的階乘等於1?
我們首先要認識什麼是階乘
設自然數n
n的階乘是這樣的
在n後面加一個感歎號
這個數等於
你要把n乘以大於或You multiply all the whole numbers less
等於n的自然數
n乘以(n-1)乘以(n-2)
乘以——
然後不斷重複 直至
3乘2乘1
來個例子
就5的階乘吧
5乘4乘3乘2乘1
結果是
120
OK
問題就是 0的階乘是什麼
其中一個作答的方法是
看看階乘的規律
這個規律就是
例如4的階乘等於 4 factorial, is equal to 5
5的階乘除以5
將這個數除以5的話
就可以拿走這裏的5了
結果就是4的階乘
5的階乘除5 或者120除5
商是24
也就是4的階乘
3的階乘就是4的階乘除4
24除以4
答案是6
也就是3的階乘
2的階乘是3的階乘除以3
即是6除以3 答案是2
1的階乘
與前者相同
2的階乘除2
2除以2
對 2除以2
答案是1
然後就來戲玉了
你們期待嗎?
來了 0的階乘
我們要跟着規律
0的階乘是1的階乘除1
1的階乘是1
1除以1等於1
所以0的階乘等於1
只要依照規律完成便行
BRADY HARAN: 誰說規律一定要依?
這個規則誰定的?
JAMES GRIME: 其實階乘不一定要是
完整的規律
但這真的是完整的規律
容許我用另一個方式解釋
BRADY HARAN: 不如讓我繼續完成規律吧
那負1不就是下一個數嗎?
JAMES GRIME: 就看看什麼會發生
我不太肯定
一起來試
負1的階乘
答案就是
0的階乘除以0
1除以0
BRADY HARAN: 噢 除以0
JAMES GRIME: Brady,不要再弄壞數學了
另一個解釋0的階乘的方法是
n的階乘是n個物件排列的組合
讓我闡述一下
我要拿一些物件
就拿出我的錢包
找些硬幣
誰告訴您數學家賺錢很少?
這裏可是有50英鎊
我就拿出這個銀色的 還有這個5鎊
這裏有3個物件 要排列這3個物件
總共有幾多個方法?
總共有6個方法
就是3的階乘
看看我對不對
第一個組合 第二個 或者這樣做
第三個組合 第四個
又可以這樣排列
這個硬幣放在頭位
那就是五 六個組合了
拿走一個硬幣 剩下兩個
2個物件有多少個組合?
一個組合 兩個組合
再次拿走一個
有多少個組合?
對 就只有一個
排列1個物件只有1個方法
不如也拿走最後的硬幣
接下來的有點哲學
這裏有0個物件
排列0個物件有多少個組合?
只有一個組合
就這樣
要我再來一次?
就這樣
有點哲學 但要排列0個物件
的確只有一個方法
那就證明規律對了
0的階乘等於1
其實有第三個方法
就是畫圖表
1 2 3 4 5
1的階乘是1 這就是1
2的階乘是2 大約是這裏
3的階乘是6
我不知道 大概是這裏吧
4的階乘是24 所以會在這個圖表挺高的位置
然後5的階乘更高
把這些點連起來 之前提到0的階乘是1
所以這就是圖表了
理論上,整數之間的數字也有階乘的
例如1又2份1
1又2份1的階乘
1又2份1的階乘是什麼?
數學家已經解答過
他們把歸納這個概念
這就是1又2份1階乘的概念
稱爲gamma
是希臘字母gamma
我們稱之爲「~」的gamma
這樣寫出來
接下來的會比較複雜
n的gamma等於0至無限的積分
隨便算個數
t的負1次方 乘以e的負t次方 dn
不是人人也熟悉這個概念
有些人熟悉
其他不會
這個數學概念比較複雜
但與階乘很有關係
用這個便能取得整數之間的階乘
就是這條線上的點
但我要強調一點
這點有些意想不到 但如過我取一個整數
n的gamma 而n是整數
這條函數的答案會是(n-1)的階乘 要注意這點
可能會誤導你
有點困難
既然你不能排列1又2份1個物件
那這條計算非整數階乘的函數又有什麼用途?
這只是概括 這條函數其實於不同範疇很有用
例如概率
你能把這條函數用於有關概率的公式
例如連續時間 有別於排列一件件物件
這個函數就可以用於連續的事件
時間是最好的例子
當你概括不同概念
那就需要概括階乘的概念
BRADY HARAN: 9 6 和3
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