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讓我們做幾個
關於直線斜率的應用題
你們也許見過這被稱爲正變模型
因爲我們要把題目描述的畫出來
我們把圖畫出來 然後希望
我們能回答這些問題
我們看一下題目問了什麽
一個小流量的花灑
每分鍾噴2.5加侖水
如果用這個花灑供水 要裝滿一個
30加侖的浴缸要多長時間
我們在這裡建立一個正變模型
很有趣 但是題目只是說 好
我們建立一個表示流出多少水的方程
或者當幾分鍾過後
流出了多少加侖水的方程
我們設水的體積等於
水的流速乘以-
所以每分鍾2.5加侖乘以多少分鍾
我設m表示分鍾 g表示加侖
這樣就建立起了正變模型
沒有比這更有意思的了 現在有了方程描述
有了分鍾 我把它乘以2.5
因爲這就是我們放水的速度
一分鍾之後 1×2.5 就是2.5加侖
兩分鍾後 2×2.5 是5加侖
這就是模型 這也是條直線
記住直線的方程是y=mx+b
這裡沒有b b是0 只有mx
這裡x是分鍾 y是加侖
斜率是2.5
在我回答問題之前我先把圖畫上
我們不叫它x軸
記住x是自變量 現在是我們放水的分鍾數
這是m軸 單位是分鍾
縱軸 不叫y軸
我把它叫做g軸 是放了多少加侖
的水量
我只要關心第一象限
假設只有正的時間 直線是啥樣的?
斜率是2.5
我們也可以寫成g等於
2.5也就是每分鍾5/2加侖 乘以分鍾
現在我們知道斜率是5/2
我也可以用2.5 但是我喜歡5/2
y截距已知是0
沒有y截距 你們可以看做加0
所以從原點開始 這是y截距
每向右移動2 就向上5
x變化2 1 2 3 4 5
x變化量是2 1 2 3 4 5
如果x變化量是-2 y變化量就是-5
-2 1 2 3 4 5 等等等等
實際上向下到了這裡
所以直線 如果畫出來 是這樣的
我盡可能穿過所有的點
實際上 我說過只要畫第一象限的就可以了
這個象限中的確實沒意義
因爲不能有負的分鍾
不應該有負的分鍾
你們只要關注上面的就行了
現在題目問要裝滿30加侖的浴缸要多長時間?
現在 很不幸 這裡的圖
沒有畫到30加侖
如果畫了- 這是10加侖
這是10加侖 如果擴大三倍
從圖上就能得出結論了
但是我們能用代數方法來求
它花了多長時間?
讓這等於30加侖
30加侖等於 我用相同的顏色
每分鍾2.5加侖乘以分鍾
現在 解出分鍾數的方法是
兩邊除以每分鍾2.5加侖
兩邊除以每分鍾2.5加侖
我帶著單位以便給你們展示
最後求出的數可以把單位消掉
這變成了1
所以左邊 我們設m
應該等於30除2.5
加侖是分子
我要給你們展示 你們可以像
處理數字一樣處理單位
如果分母上是加侖每分鍾
如果除以這個分數
也就是乘以它的倒數
這也就是乘以分鍾每加侖
對吧?單位在分母中
當放到分子中 翻過來
所以加侖在分子中 加侖在分母中
它們約掉了 就剩下了30除2.5分鍾
30除2.5是多少?等於12
所以要填滿30加侖的浴缸要12分鍾
這是分鍾 12分鍾 我們再做一題
阿門是 或者是一個人
我不知道這個名字怎麽正確發音
用了一根管子 我們滾動一下屏幕
第一次用管子往遊泳池裏充水
他從晚上10點開始充 我寫下來
晚上十點開始 這是他開始的時間
讓它充了一晚上
早晨6點 他測量了深度 計算出已經充了4/7
所以當他晚上十點開始的時候
這是時間 這是池子裏的水量
現在當他開始的時候 水池是空的
這是個新的遊泳池 題目說了 所以池子是空的
啥都沒有 一點水也沒有
在上午六點 它測得深度計算出
裝了池子的4/7 這是4/7
到什麽時候池子能裝滿?
我們要求什麽時候裝滿 什麽時候是1/1?
也就是7/7 什麽時候?
要做這個題 我們必須建立一個剛做過
的簡單模型
我們可以設 池子的容量等於
一個常數乘以經過的時間
我們知道當時間是0 我們這樣想
這是時間 我寫到這裡 這是時間
這是時間 怎麽用小時表示?過了8小時 對吧?
乘以8 我不知道這是什麽
這是乘以別的什麽
當晚上十點 時間是0 0乘k 充了0
一點水也沒有 當時間等於8 k乘8
k是往池子裏充水的速度 k乘8
這是4/7滿 現在能算出k是多少了
我們能算出我們正變模型的
比例常數是多少
很有意思 但是我們說的是 看
給池子充水可以用一個這樣的方程表示
我們加進去的水量
正比於過去的時間
這就是比例係數
我們不知道水充的有多快
但是現在能算出來了
因爲已知過了8小時 充了4/7
爲了求出k 兩邊除8
就得到k等於4/7除8
也就是4/7乘1/8
如果把這個算出來 我看一下 除4 除4
就得到1/14的水量 這是個奇怪的單位 每小時
或者可以說 每小時能裝1/14池子 所以k是1/14
我把方程寫到這裡
池子中的水量等於1/14乘以時間
所以我們要回答的問題是這什麽時候等於1?
在幾點?我們建立方程 這是1
這就是說池子完全滿了 這等於1/14乘以時間
如果方程兩邊乘以14
那麽1/14和14約掉了 就剩下t等於14
池子14小時充滿
記住我們的單位是小時
如果從10pm開始 這就0時刻 過了14小時是幾點?
第一天的10pm 如果到第二天10am
這是12小時 這就是我的思考方法
需要再過兩個小時才到14個小時
這就是第二天中午
當池子裝滿 就是第二天中午了
我們能把圖畫出來 這有張坐標紙
我把所有討論的都畫上
這個方程 我寫到這裡
池子中的水等於1/14乘t
我們假設每個刻度是2
這是2 4 6 8 10 12 14
這就說了當過了14小時 擧升了1
如果x變化了14 y就變化了1
我讓這些單位是1 2 刻度不是很好
這個圖有點扭曲了 但這是1
所以圖像看起來是這樣的 像這樣
斜率是1/14 希望你們覺得這有用