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让我们做几个
关于直线斜率的应用题
你们也许见过这被称为正变模型
因为我们要把题目描述的画出来
我们把图画出来 然后希望
我们能回答这些问题
我们看一下题目问了什么
一个小流量的花洒
每分钟喷2.5加仑水
如果用这个花洒供水 要装满一个
30加仑的浴缸要多长时间
我们在这里建立一个正变模型
很有趣 但是题目只是说 好
我们建立一个表示流出多少水的方程
或者当几分钟过后
流出了多少加仑水的方程
我们设水的体积等于
水的流速乘以-
所以每分钟2.5加仑乘以多少分钟
我设m表示分钟 g表示加仑
这样就建立起了正变模型
没有比这更有意思的了 现在有了方程描述
有了分钟 我把它乘以2.5
因为这就是我们放水的速度
一分钟之后 1×2.5 就是2.5加仑
两分钟后 2×2.5 是5加仑
这就是模型 这也是条直线
记住直线的方程是y=mx+b
这里没有b b是0 只有mx
这里x是分钟 y是加仑
斜率是2.5
在我回答问题之前我先把图画上
我们不叫它x轴
记住x是自变量 现在是我们放水的分钟数
这是m轴 单位是分钟
纵轴 不叫y轴
我把它叫做g轴 是放了多少加仑
的水量
我只要关心第一象限
假设只有正的时间 直线是啥样的?
斜率是2.5
我们也可以写成g等于
2.5也就是每分钟5/2加仑 乘以分钟
现在我们知道斜率是5/2
我也可以用2.5 但是我喜欢5/2
y截距已知是0
没有y截距 你们可以看做加0
所以从原点开始 这是y截距
每向右移动2 就向上5
x变化2 1 2 3 4 5
x变化量是2 1 2 3 4 5
如果x变化量是-2 y变化量就是-5
-2 1 2 3 4 5 等等等等
实际上向下到了这里
所以直线 如果画出来 是这样的
我尽可能穿过所有的点
实际上 我说过只要画第一象限的就可以了
这个象限中的确实没意义
因为不能有负的分钟
不应该有负的分钟
你们只要关注上面的就行了
现在题目问要装满30加仑的浴缸要多长时间?
现在 很不幸 这里的图
没有画到30加仑
如果画了- 这是10加仑
这是10加仑 如果扩大三倍
从图上就能得出结论了
但是我们能用代数方法来求
它花了多长时间?
让这等于30加仑
30加仑等于 我用相同的颜色
每分钟2.5加仑乘以分钟
现在 解出分钟数的方法是
两边除以每分钟2.5加仑
两边除以每分钟2.5加仑
我带着单位以便给你们展示
最后求出的数可以把单位消掉
这变成了1
所以左边 我们设m
应该等于30除2.5
加仑是分子
我要给你们展示 你们可以像
处理数字一样处理单位
如果分母上是加仑每分钟
如果除以这个分数
也就是乘以它的倒数
这也就是乘以分钟每加仑
对吧?单位在分母中
当放到分子中 翻过来
所以加仑在分子中 加仑在分母中
它们约掉了 就剩下了30除2.5分钟
30除2.5是多少?等于12
所以要填满30加仑的浴缸要12分钟
这是分钟 12分钟 我们再做一题
阿门是 或者是一个人
我不知道这个名字怎么正确发音
用了一根管子 我们滚动一下屏幕
第一次用管子往游泳池里充水
他从晚上10点开始充 我写下来
晚上十点开始 这是他开始的时间
让它充了一晚上
早晨6点 他测量了深度 计算出已经充了4/7
所以当他晚上十点开始的时候
这是时间 这是池子里的水量
现在当他开始的时候 水池是空的
这是个新的游泳池 题目说了 所以池子是空的
啥都没有 一点水也没有
在上午六点 它测得深度计算出
装了池子的4/7 这是4/7
到什么时候池子能装满?
我们要求什么时候装满 什么时候是1/1?
也就是7/7 什么时候?
要做这个题 我们必须建立一个刚做过
的简单模型
我们可以设 池子的容量等于
一个常数乘以经过的时间
我们知道当时间是0 我们这样想
这是时间 我写到这里 这是时间
这是时间 怎么用小时表示?过了8小时 对吧?
乘以8 我不知道这是什么
这是乘以别的什么
当晚上十点 时间是0 0乘k 充了0
一点水也没有 当时间等于8 k乘8
k是往池子里充水的速度 k乘8
这是4/7满 现在能算出k是多少了
我们能算出我们正变模型的
比例常数是多少
很有意思 但是我们说的是 看
给池子充水可以用一个这样的方程表示
我们加进去的水量
正比于过去的时间
这就是比例系数
我们不知道水充的有多快
但是现在能算出来了
因为已知过了8小时 充了4/7
为了求出k 两边除8
就得到k等于4/7除8
也就是4/7乘1/8
如果把这个算出来 我看一下 除4 除4
就得到1/14的水量 这是个奇怪的单位 每小时
或者可以说 每小时能装1/14池子 所以k是1/14
我把方程写到这里
池子中的水量等于1/14乘以时间
所以我们要回答的问题是这什么时候等于1?
在几点?我们建立方程 这是1
这就是说池子完全满了 这等于1/14乘以时间
如果方程两边乘以14
那么1/14和14约掉了 就剩下t等于14
池子14小时充满
记住我们的单位是小时
如果从10pm开始 这就0时刻 过了14小时是几点?
第一天的10pm 如果到第二天10am
这是12小时 这就是我的思考方法
需要再过两个小时才到14个小时
这就是第二天中午
当池子装满 就是第二天中午了
我们能把图画出来 这有张坐标纸
我把所有讨论的都画上
这个方程 我写到这里
池子中的水等于1/14乘t
我们假设每个刻度是2
这是2 4 6 8 10 12 14
这就说了当过了14小时 上升了1
如果x变化了14 y就变化了1
我让这些单位是1 2 刻度不是很好
这个图有点扭曲了 但这是1
所以图像看起来是这样的 像这样
斜率是1/14 希望你们觉得这有用