6 - 4 - 1 - 2 除法法則例題

讓我們來再看一個例子 這個例子我們不用長除法來算 我們用綜合除法來算算看 所以我們現在讓 f(x)=x^3-7x^2+13x-15 然後我們的g(x)=x-5 那我們現在用綜合除法 來看看這個東西要怎麼除 所以如果同學們有印象的話 這個綜合除法的寫法 好 跟我們以前所看到的 那個長除法的形式 很不一樣 那這個x^3-7x^2+13x-15 我們可以考慮分離係數 實際上在之前的長除法 我們也可以分離係數 也就是說 我們的x幾次方都可以不要寫 只單純把數字保留下來 那樣的寫法的好處是 可以節省我們在計算上很多的時間 不需要把x幾次方 一項一項寫出來 但它的缺點是 同學們如果 對於除法的計算不夠熟 那關於x的次方 很容易會搞錯 好 所以我們現在 一般綜合除法我們的寫法是 直接分離係數 那你要切記 如果在這個多項式裡面 它某一項是缺項 那缺項一定要補0 那我們現在舉的這個例子 是都沒有缺項 所以我們直接就把係數寫下來 好 所以我們去掉了x次方之後 係數寫下來是像這樣子 然後 這個 除式是x-5 那我們就考慮 除式是x-5 那我們就把這個地方寫上5 就是我們考慮看 這x-5如果等於0的話 那這個x會是多少 那這個x是5 我們就把這個5寫下來 寫在邊邊 那它的計算方式 第一件事情是先把 首項係數先降下來 然後1乘上5 兩個相乘是變+5 然後綜合除法跟長除法 一個很不一樣的地方是 我們現在要做的運算是兩項相加 並不是兩項相減 好 所以我把這兩項相加變成(-2) 好 就把這數字寫下來 然後(-2)再乘上5是(-10) 所以(-10)就寫在第三項 好 所以這兩項相乘得到(-10) 然後這兩個相加 就會得到+3 然後它再乘上5 就會變成+15 所以這兩項相加 變成0 好 所以這樣計算完了之後 那我們就知道 最後一項 這個0就是我們的餘式 好 我們怎麼知道是餘式 那是因為我們現在的除式 是一次方 對不對 那除式既然是一次方的話 那它的餘式一定是一個 常數函數 就常數多項式 對不對 所以既然是常數多項式 可能是0 可能是其他的數字 那我們這邊所計算出來的結果是0 那前面的部分 就是我們的商 所以我們商的次方 就是從這裡開始看 零式方 一次方 平方項 所以 這個常數 這個把它寫出來 商式就是 x^2-2x+3 這個東西就是我們的商 好 所以這個基本上 如果我們用綜合除法來計算這個除法 其實它寫法上會比長除法要快一些些 那只是說 綜合除法有它的限制 好 一般我們常用的 就是在這個 這個除式是在一次式的時候 我們會用綜合除法 那另外一種除的形式是 這個除式可能是平方式 也能用綜合除法 但是那個計算方式比較複雜 所以我們在這邊僅介紹 這個除式是一次的情形 因為基本上只有這個算式 比較好用 那所以我們就直接 把這個東西稍微做一下複習 所以如果現在 我把這個題目改一下 這個是這個題目 對不對 那我現在如果 把這個題目故意讓它缺項 那我們缺項之後來除除看 看會變成甚麼 好 所以我現在假設這邊 我直接擦掉 好 那我變成+13 我們現在沒有x的那一項 然後這邊 我故意把它改成+5好了 那我們來看看 我們現在新的計算結果 會變成怎樣 所以我這邊就先把它擦掉 好 所以我們來看看 如果我們今天缺項 那我們就來看看我們的缺項補0 要怎麼補 其實也是一樣 少了一次項 就補那一項的0 所以我們係數寫下來是 1-7+0+13 就這樣子 好 因為我們現在的一次項是0 所以我們相當於去想像 我們要加上一個0x 這一項 那我們一定要按照降冪排列 所以我們在寫的時候就是 把0x擺在中間這裡 那這個 我們就讓它x+5=0 所以這個x我們就可以取-5 好 它的想法是這樣子的 所以你這個1就把它放下來 1乘上它 1乘(-5)就(-5) 所以這兩個相加是-12 它乘上它變成+60 對不對 因為這兩個是不是 相乘變+60 所以這兩個相加 一樣就是+60 然後+60在乘上5 所以變成(-300) 對不對 那這兩項在相加 所以變成(-287) 好 所以這個數字感覺起來好像很大 那不管 反正我們就是一樣 這個最後這一項 叫做餘式 所以我們的餘式 現在計算出來就是(-287) 好 它是一個常數多項式 那前面一樣 就從這裡看 x的零次方 x的一次方 x的平方 所以我們可以得到我們的商式 好 商式我們可能一般都是用q(x) 那就是x^2-12x+60 好 那你說這個東西 我如果去用 長除法來算可不可以 當然可以 但是一般 我們也許用綜合除法來算 有它的便捷性 所以建議同學這兩種除法 就是都要會 就是隨時根據我們的經驗 哪一個比較好算 就用哪一個來做計算