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我們學了微分技術以後
還學兩件事 對不對
應該說微分的技術幫助我們解決三種問題
第一種問題就是求極大極小的問題
第二種問題就是
我們可以徹底了解三次多項式的函數圖形
這件事情請同學明白
是一個蠻大的進步
因為我們在國中的時候
透過配方法
應該可以說我們徹底的了解二次函數的圖形
但是我們在高中的時候
就差那麼一點點
我們沒有完全的了解
三次多項式的圖形
現在透過學習了微分以後
我們會徹底的了解三次多項式的函數圖形
那其實這個進步來的有點遲
照理說我們在國中三年級
可以徹底了解二次多項式的函數圖形
我們應該可以在高中一年級或二年級
徹底的了解三次多項式的函數圖形
但是這一件事在我們的學習歷程當中
比較慢發生
各位同學現在大學一年級了才徹底的了解
三次多項式函數圖形
那大家恭喜一下
這是我們有一個進步了
我們對於多項式函數圖形
有更進一步的了解了
那我前面已經說過
四次五次以上的我們就先不要管它了
在實務的情況上發生的比較少
那麼最後一件我們還要學習的事情呢
是所謂的反曲點
這也是函數圖形上面的一個有特徵的點
那麼它的英文叫作 point of inflection
那反曲點呢
就是這個圖形彎曲的方向
它會向上
或是向下
它彎曲的方向相反了
就是說在這個點的左右兩側
這個函數圖形彎曲的方向相反了的那個點
叫做反曲點
那這個反曲點的形式是怎麼來的呢
我們就知道說
這個三次多項式函數
我把多項式三個字省了好了
三次多項式函數的圖形呢
現在同學知道
大致上
要不然是這樣
這是x^3+x的樣子
不然會是這樣
它是x^3-x的樣子
就大致上來說是這樣子
觀察這兩個圖形它都有一個共同的特徵就是
原點會是一個
符合我以上描述的反曲點
在原點的左邊
應該用眼睛看看得出來
凹向下 它向下彎曲
這個右邊是向上彎曲
在這張圖就看起來更明顯了
這個點的左邊是向下彎曲
這個點的右邊這個函數是向上彎曲
於是這個像這樣的點就叫做反曲點
那麼
之前我們已經說了
任意的三次函數
因為都是這一種函數的平移
都是以上這兩種函數的平移
所以我們看到這種函數
三次多項式函數
必有反曲點
就是看你把原點平移到哪裡去
那個點就會是反曲點
而且根據微分的技術我們已經知道
我們已經知道反曲點發生在哪裡呢
發生在-(a_2/3a_3)
跟f(a)
這個函數值的地方
好 那這個後面我就不說好了
我們就說一個
我們就說f(a) 好不好
後面這個數
就是發生反曲點的那個y軸的高度
這個經過計算我們就會知道
但我們要知道
發生在x等於這個數的時候
它是一定會發生反曲點的
但是
這裡抱歉 我稍微講得快了一點
那這個三次多項式函數我們當然是假設
它的係數是長這個樣子的
好 a
它的平方項係數會是a_2
然後加上a_1 x + a_0
好 這個三次
這個三次多項式函數呢
如果係數是這樣安排的
則a_2/3a_3 再乘個負號
就會是必然發生反曲點的地方
那所以反曲點是
對於我們了解三次多項式函數的圖形之後
所認識的一個新的性質
但是就好像我們在看拋物線
就是在看那個二次函數的時候
開口向下啦、開口向上啦
我們發現有極大或極小值
但是我們雖然在二次函數的
就是說在研究二次函數的時候
認識了極大或極小值
但是我們後來
最近我們也都學到了
不管是二次三次四次還是更高次都可能
發生在局部來說
都可能發生像這個
二次函數有極大值或極小值的那個位置
或者說那些現象
同樣的道理
雖然我們是在研究三次多項式函數的時候發現
三次多項式函數有一個特徵
就是它一定有反曲點
它不一定有極大極小值
就像二次函數一定有極大或極小
但是二次函數其實沒有反曲點
它沒有反曲點
二次函數如果凹向下
它就是永遠就是向下彎了
它不會再翻上來 對不對
那三次函數不一定有極大極小值
但是它一定有反曲點
那同理呢
這個三次多項式函數一定有反曲點的這個事實
不一定僅限於三次函數
其他的多項式函數呢
都可能有反曲點
任意的一個多項式函數f(x)
假如是n次的話
假如是n次多項式函數的話
...這個a_1 x + a_0
其中
這個n只要≥3
n=1或2的時候我們已經知道沒有反曲點
n=1就是一條直線
它根本沒有彎曲
沒有任何地方彎曲
n=2的時候它不然永遠彎向下
不然就永遠彎向上
這沒有彎曲
n=3開始
好 這個n=3開始呢
這樣子的多項式函數呢
都有可能
有反曲點
而其中我們剛剛才說的
當n=3的時候是必有
一個反曲點
那n=4、5、6、7、8以上的時候呢
就可能會有
也可能沒有
甚麼時候會有呢
根據我們之前學的事情
這個三次多項式函數的反曲點
是發生在哪裡
發生在某一個數a
以那個a為參考點的時候
這個三次多項式函數的泰勒形式的c_2
會是0
也就是發生在
根據我們之前對三次函數的了解
反曲點發生在
這個任意次的多項式函數的二階導數等於0的根
的那些地方
那麼三次多項式函數的二階導函數是
是一個一次多項式
一定有一個根
但是如果這個f(x)本身是四次或五次的話
就說不定會無解
這個多項式等於0
它說不定會無解
它就會沒有根
但是反曲點一定會發生在
假如這個有根的話
假如這個二階多項式函數有根的話
反曲點一定會發生在那個地方
也就是說一個多項式函數
如果a這個地方發生了反曲點的話
如果在這裡發生反曲點的話
這個函數圖形在它的附近
一定會像一個三次
一邊會是彎向下的
另外一邊會是彎向上的
我不妨舉兩種例子給同學看一看
左邊這個例子是從凹向下
或是彎向下換成彎向上
那這個例子我就把它改成
從彎向上
換成了彎向下
在反曲點的附近的函數圖形的特色
就是這個樣子
最後一點點時間跟同學們說說
我幹嘛要關心反曲點呢
過去
我們在學
第一個典範問題跟第二個典範問題的時候
或許同學們很清楚
我為什麼要求極大值
因為我要求我的營收
在甚麼時候會發生極大
那你也可以想像
換另外一種問題
我可能需要求極小值
那也就是我的風險要極小
或者是我的成本要極小
這大概可以想像
它為什麼沒有要求反曲點呢
求反曲點的理由也有很多種
其中一種是說
一個最基本的玩股票或期貨的人
有一個最基本的判斷的方式
就是在尋找反曲點
每個人都知道如果你是要買股票的話
你應該逢低要買
這個股票跌到最低的時候
你把它買進來
那逢高你想要賣
但是問題就在這裡
每個人都知道這個道理
但你怎麼知道甚麼時候最小
甚麼時候最大呢
你每天只能看盤
看盤你不能預期下一個小時
甚至於也不能預期下一分鐘
我說說的誇張一點的話
那所以我們就算是
知道每一天就是從這個盤價
能夠得到一些數據
我們大概只能知道
今天跟過去那幾天股市的表現
或者是特殊的一個個別股的表現
那你怎麼知道明天後天呢 其實不曉得
所以其實理論上說
最低點就應該買
最高點就應該賣
但事實上
沒有人真的知道
甚麼時候發生最低
甚麼時候發生最高
因為那發生在未來
你不知道
所以呢
一般來說
大家一個最基本的工具
我沒有說是全部的工具
一個最基本的工具就是
根據過去
比如說
今天的收盤的結果
過去兩三天收盤的結果
我們來做差值多項式
我們過去學過了
給你三個點你可以做一個二次多項式
給妳四個點你可以做一個三次多項式
所以給你五個點以上
反正你就可以做一個多項式
然後 假如這是
這是今天
假如這個a或者這個b是今天
你不知道未來會怎麼樣
這個也許不能是今天
所以這個位置比如說是今天
所以你不知道未來甚麼時候會到達最低點
但是起碼你可以觀察
根據今天的收盤跟前幾天的收盤
畫出來的那一條曲線
你已經看得到過反曲點
過反曲點的意思就是說
它好像將要上揚
它從凹向下
就是無盡下跌的那個狀況
已經開始翻轉了
它已經開始有可能要翻上去了
那未來哪一天會發生極小值
開始真的要上升
其實沒有人知道
這時候就要看
這還是有一點賭博啦
你就得賭了啦
就是你要在明天就進場嗎
還是你要再等一天看看呢
當然數學不能告訴你明確的事
但是這種模型就可以幫助你
在股票或期貨交易的這種情境之下
幫助你 根據今天收盤跟前幾天的收盤
畫一個多項式
然後一直在等
看甚麼時候出現了反曲點
如果過了反曲點
那你就要更謹慎一點
看看是不是我隨時要準備好該要買了
反之如果你是在賣方的話
你想要賣的話
你當然也是在等這種反曲點
對不對
如果有一天
如果有一天你發現過去的資料
顯示這個上漲的趨勢開始變緩
這個股價或期貨的曲線
從凹向上
開始過了反曲點
有凹向下的趨勢
那那個最高點發生在哪裡呢
其實沒人知道
總之就是
在這個情況下
如果保守一點你就提早賣了
那你如果還能夠賭久一點的話
你就再多觀察幾天 這樣子