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我們學到現在
已經知道怎麼樣處理一般的多項式函數
的極值問題
也就是可以算出來
一般的多項式函數
在哪些地方可能發生極大或極小值
好
那也就是說要求解它的一次導函數的根
找到那些根然後再檢查
在那些...
所以那些根就可能會發生極大或極小值
然後再檢查發生根的那些位置
的這個二階導數是正的
就是開口向上
就會有極小值
那如果是負的就會開口向下
像一個開口向下的拋物線
就是極大值
那也就是說我們學了多項式函數的微分
這個技術之後
我們可以徹底地解決
所有多項式函數的極值問題
那麼我們還剩下什麼問題想要討論呢
我們剩下兩個主要的課題還想要討論
那就是
記得我們剛開始的時候
我們都說
多項式函數是我們需要去
比較精確了解的一類函數
那麼一次多項
說零次好了
從零次多項式開始說起呢
它就是這個y=a_0這個形式
那它的
它的函數呢 函數
圖形呢
如果a_0是這個數的話
在y軸上
那麼y=a_0就是一條水平線
那麼接下來我們就探討了一次多項式
函數的圖形
記得我們當時是寫這個樣子
然後我們知道這個函數
這時候我假設k是一個負數
假如k在這裡
然後m如果是個正數 那
我們會有一個像這樣子的直線
那麼接下來我們又討論了二次函數
或者叫二次多項式函數
然後我們知道經過配方
哦
經過配方
它一定可以寫成 a_2(x-h)^2+k 這個形式的
多項的這個
完全平方的形式
那這個形式的話我們就要了解呢
它就是y=a_2 x^2
好 假如a_2是個正數的話
那我們已經學過a_2的
它是個正號還是負號
決定這個曲線開口朝上還是朝下
它的絕對值
決定這個開口是比較寬還是比較窄
絕對值越小是越寬
因為你要想如果這個數a_2是0的話
那它就完全是平的一條水平線
所以越小的絕對值是越靠近水平線
越小會越寬的
那我們知道這一個函數呢
就是這一個y
就是單向的y=a_2 x^2
向右平移h
向右平移h
向上平移k
假如k是個負數
那其實k會在這裡
所以呢
就是把這個
就是把這個拋物線原樣不動地把它搬到
頂點在(h,k)這個地方
的一條新的拋物線
所以就是說我們已經了解到
一次
零次,一次,二次多項式函數的圖形
會是什麼樣子
那麼三次多項式的函數圖形呢
我們也曾經介紹過
嗯
現在我們可以更精確地透過微分的方法
我們可以更精確地
可以描繪出來三次多項式函數長什麼樣子
那麼四次五次六次
更高次的多項式函數呢
我們的經驗就是這種情況
在實務上比較少出現
而且同學們只要在微積分課程裡面
對於一次二次三次
這些基本的多項式函數的圖形
有了概念以後
之後如果你在實務上
真的碰到四次以上的多項式
需要對它的圖形有所認識的話
那麼你只要用maximum
或者是類似的電腦軟體來幫你畫圖就好
那1,2,3,4因為非常的基本
就好像我們小時候
20以下的加減乘除的計算
我們很少會在用計算機
我們大概心裡想一下
20甚至100以下
可能很多人都可以稍微想一下
就可以算出來了
這是我們很自豪的事情
我們這個東方人
其實不只台灣人拉
中國、日本、南韓都一樣
我們都很會心算
那麼類似的多項式函數的圖形
我們也期望同學們
大約在三次以下是可以自己處理的
不需要用電腦
那我們也透過二次三次多項式的函數圖形
對這個
對這件事情
就是對多項式函數圖形的這件事情
有基本的概念
之後你只要再用
需要的時候再去用電腦來幫助你就可以了
所以我們說
學了微分以後
我們還除了解決極值問題
我們還剩兩個課題
現在我們來說
這兩個課題的第一個課題
就是
就是描繪三次多項式的圖形
三次多項式的函數圖形
我們要來做這件事
那我們還是先複習一下
之前我們有說過
任意給我們一個三次多項式函數
既然我說它是三次
那麼當然這個領導係數a_3就不會是0
好 否則它就不會說它是三次了
那麼經過配三方
那我們用電腦有跟同學表演過可以配三方
但是我們也曾經答應你
我們有更好的辦法可以做
所以不需要去學配三方
那個更好的辦法
就是現在我們要說的微分的方法
但是我要說
反正根據配三方我們總有一個辦法
把它寫成(x-a)的三次方
就是會把這個平方項弄不見
好 然後變成a_1
但是這個a_1呢
好
其實我現在可以不要賣關子啦
這個a_1就是以a為參考點
對這個三次多項式函數
做泰勒形式的那個係數c_1
乘以(x-a)的一次方
加上最後一項
我們就說c_0好了
這個地方我其實也可以寫c_3
但是我們曾經跟同學說過
這個領導係數一定不會變
所以c_3它其實就會是a_3
那麼以過去我曾經說
經過配三方以後我們會得到這樣的一個式子
這個式子呢
它的函數圖形
它的函數圖形就是一個比較簡單的
三次多項式函數
y=a_3 x^3+c_1 x
這個函數向右平移a
向上平移c_0的結果
所以啦
透過這個形式我們就會知道
三次多項式函數一定會變成一個簡單的
這種形式的函數的圖形
而這種形式的函數圖形長什麼樣子
又複習一下
過去我們已經說過四個case
但是我們就說兩個簡單的case
再讓同學看一看
對不起 我應該
先從x^3開始
y=x^3它基本上函數圖形會長這個樣子
會長這個樣子
然後換一個顏色
y=x^3+x
也就是a_3跟c_1都是正數的時候
那麼它就會往上提一點
右邊往上提
左邊往下降
就會變成比較斜一點
那再換個顏色
如果是異號
a_3跟c_1異號
三次方的係數跟一次方的係數異號
它就會往下彎一點
所以這個結果呢
會變成有一個極大值、有一個極小值
這個樣子
ok
所以三次多項式函數經過配三方
變成這個樣子以後就簡單了
我們只要知道a_1跟c_3是同號還是異號
同號的話就會像黃色這一條
異號的話就會像紅色這一條
然後再把這個中心點平移
到x=a、y=c_0的那個地方
就是三次方的圖形了
我們到此都還是複習
那麼確實該怎麼做呢
我們就
在旁邊來重新寫
現在我們再回來看
配三方的這個結果
配三方的結果其實我剛剛已經說過了
就好像我找到了某一個
找到了某一個數a
使得呢 這個三次多項式函數f
在a 以a為參考點的泰勒形式
之c_2=0
那麼我們又知道c_2=1/2f ''(a)
所以呢
也就是說呢
a是1/2f ''(x)=0的一個根
好 那同學應該知道
這個1/2 f'' (x)=0
我們可以在等號的左右兩邊都乘以2
其實也就是求解f ''(x)=0
不用管前面那個1/2
求解這個數
求解這個根就可以了
如果我們算出來不只一個根
那每一個根都可能是這個配三方的結果
但事實上我們只會求解出一個根
為什麼呢
我做一次給同學看看
好 假如這個f(x)
剛剛我這邊寫了y
但是我現在要說這就是我的
三次多項式函數f(x)
那麼
它的一次導函數呢
會是3a_3 x^2+2a_2 x+a_1
那麼兩次導函數呢
就是把一次導函數再微分一遍
就是6a_3 x+2a_2 ×1 就不要寫了
a_1常數項微分是0
所以兩次導
一個三次多項式函數的二階導函數呢
一定只有一次
這個一次函數
而且我們知道a_3不是0
所以這個一次函數一定只有一個根
好 所以我們看到解出來呢
這個f ''(x)=0只有
你可以說只有
也可以說必有一個根
這個根如果我叫它名字叫做a的話呢
它就會是 -a_2/(3a_3 )
這應該可以心算
這個等於0
把這個2a_2移過去
是-2a_2
然後再把6a_3除過去
然後約分一下
這個約出來我們就得到一定有這個結果
那這意思就是說
這意思就是說
這個多項式函數
這個多項式函數以x
以剛剛說的-a_2/(3a_3 )為參考點
的泰勒形式
就不說完了
的泰勒形式呢
一定是中間那個平方項沒有的
調掉的那一項
所以呢 我們就會求得
我們就得到這個結果了
我們就會得知這個結果
當然事情還沒有那麼簡單啦
我們還要知道c_1是誰跟c_0是誰
對不對
其中c_1呢
我們已經知道c_1
以a為參考點
那c_1就是f在a的導數
好 那這個結果是什麼呢
其實我們就不要在這裡算出來了
反正f的一次導函數已經寫在這裡了
你只要把剛剛解出來的那個
x=-a_2/(3a_3 )代進來就好了
反正這是可以算的
那麼c_0也是我們知道
就是f在a的函數值
這當然也是可以算的
既然這些都算出來以後
我們就會知道a_3跟c_1是不是同號
如果同號的話
這個多項式函數圖形就長這個樣子
各位同學看到的應該是這樣
就這樣斜斜的
如果a_3跟c_1異號的話
它就會長這個樣子
歪歪的
那這個歪歪的呢
就會有兩個極值
對不對
那這個一邊極大一邊極小
至於極大極小怎麼算
我們之前已經學過了
所以你就會知道
那個極大發生在哪裡
那個極小發生在哪裡
然後我們就可以描繪這個多項式函數的圖形